Въпрос 26

Итерационни методи за решаване на нелинейни уравнения.

Table of Contents

Анотация

Да се дефинира понятието неподвижна точка на изображението ϕ и да се докаже, че ако ϕ е непрекъснато изображение на интервала [ a,b] в себе си, то ϕ има поне една неподвижна точка в [a,b]. Да се покаже, че решаването на уравнението f(x) = 0 може да се сведе към намиране на неподвижна точка.

Да се дефинира понятието свиващо изображение и да се докаже, че ако ϕ е непрекъснато изображение на интервала [a, b] в себе си и е свиващо с константа на Липшиц q<1, то:
а) уравнението x = ϕ(x) има единствен корен ξ в [a,b];
б) редицата ${x_n}$ от последователни приближения (при произволно $x_0 \in [a,b]$ и $x_{n+1} = ϕ(x_n), n = 0, 1,… ,$)клони към ξ при n→∞, като $| x_n – ξ| \le (b - a)q^n$ за всяко n. Да се получи като следствие, че ако ξ е корен на уравнението x = ϕ(x) и ϕ има непрекъсната производна в околност U на ξ, за която | ϕ’(ξ)|<1, то при достатъчно добро начално приближение $x_0$ итерационният процес породен от ϕ е сходящ със скоростта на геометрична прогресия. Да се дефинира понятието ред на сходимост.

Да се дадат геометрична илюстрация, формула за последователните приближения и ред на сходимост при:

  • метод на хордите
  • метод на секущите
  • метод на Нютон.

Да се докаже, че при метода на хордите сходимостта е със скоростта на геометричната прогресия (при условие, че коренът е отделен в достатъчно малък интервал).

Литература: [39], [40], [41], [42], [43]

Числен Анализ, въпрос 20. Метод на свиващите изображения за числено решаване на нелинейни уравнения. Ред на сходимост на итерационен процес.

Числен Анализ, въпрос 21. Методи на хордите, секущите и допирателните (Нютон) за числено решаване на нелинейни уравнения.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License