Probu9

Тука сложи заглавие

Задача 1

При здравите индивиди на възраст между 20 и 29 години нивото на
калций в кръвта X е между 8.5 и 10.5 мг/дл, а нивото на холестерол Y е между 120 и 240 мг/дл. Да предположим, че стойностите на (X, Y ) са равномерно разпределени в този правоъгълник (т.е. $f_{XY} (x, y) = c$). Намерете c. Намерете вероятността даден човек да има калций между 9 и 10 и олестерол между 125 и 140. Намерете маргиналните разпределения. Независими ли са? Намерете очакванията, ковариацията, корелационния коефициент. Отг.
1/240; 15/240; 1/2, 2/240; 9.5, 180, 1710, 0.

Решение:
Намиране на $c$. От условието следва, че следното уравнение за $c$ е вярно

$\int_{8.5}^{10.5}\int_{120}^{240} c d y d x =$ сметката може да си я направите самостоятелно $c = \frac{1}{240}$

Следващия въпрос е сметка на един интеграл
$\int_{9}^{10}\int_{125}^{140} c d y d x = \int_{9}^{10}\int_{125}^{140} \frac{1}{240} d y d x = \frac{15}{240}$ по-подробна сметка - на лисче, самостоятелно :)

Маргинални разпределения
$f_X(x) = \int_{120}^{240} c d y = c*120 = \frac{1}{2}$
$f_Y(y) = \int_{8.5}^{10.5} c d x = c*2 = \frac{2}{240}$
Независими ли са?
Заради равномерното разпределение просто проверяваме дали
$\frac{1}{2}\frac{2}{240} = c$ и отговора е да - независими са.

Намерете очакванията, ковариацията, корелационния коефициент.
Очакванията $EX = \int_{8.5}^{10.5} x \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \frac{ x^2}{2}|_{8.5}^{10.5} = 9.5$
Прекалено аналогично е за $EY = 180$
Прекалено аналогично е за $EXY = 180*9,5$ от независимостта
Ковариация
$E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ защото са независими
Корелационен коефициент - $0$ защото са независими

Задача 2

Нека X и Y са съответно вътрешното и външното барометрично налягане в даден експеримент и тяхната съвместна плътност
е $fXY (x, y) = c/x, 27 \leq y \leq x \leq 33, c = 1/(6-27 \ln 33/27) \approx 1.72$ . Намерете маргиналните разпределения, вероятността $P(X \leq 30, Y \leq 28)$, независими ли са, условните плътности, $P(X > 32|y = 30), E(X|y = 30), E(X|y)$ .

Отг. $c(1 - 27/x), c( \ln 33 - \ln y), 0.15, 1/x(\ln 33 - ln y), 0, 32, 31.48, (33 - y)/(\ln 33 - \ln y)$

Решение:
Маргинални разпределни
$f_X(x) = \int_{27}^{x} \frac{c}{27} dy = c(1 - \frac{27}{x})$
аналогично за $y$

Вероятността
$P(X \leq 30, Y \leq 28) = \int_{27}^{28} \int_{y}^{30} \frac{c}{x} d x d y = ... = c*(\ln 30 - (\ln 28^{28} - \ln 27^{27}) +1 ) \approx 0,149754344$

Независими ли са - не разбирам въпроса.

$P(X > 32|y = 30) = \frac{f_{X|y=30}( 32 < x < 33 )}{f_Y(y=30)} = \frac{\int_{32}^{33} \frac{c}{x} d x}{f_Y(30)} = \frac{\ln 33 - \ln 32}{\ln 33 - \ln 30} \approx 0,32$ в знаменателя просто заместваме $y=30$.

$E(X|y = 30) = \frac{\int_{30}^{33} x\frac{c}{x} dx}{ c( \ln 33 - \ln 30)} = \frac{c3}{c( \ln 33 - \ln 30)} = 31.4761761$
$E(X|y) = \frac{\int_{y}^{33} x\frac{c}{x} dx}{ c( \ln 33 - \ln y)} = \frac{33 - y}{\ln 33-\ln y}$

Задача 3

Нека X и Y са независими равномерно разпределени случайни величини съответно в (0, 2) и (0, 3) и нека U = X Y , V = X + Y .
Намерете съвместната плътност на U и V .

Задача 4

Нека X и Y са случайни величини със съвместна плътност fXY .
Ако U = X + Y , докажете че $f_U(u) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY} (u-v, v)dv$. Ако
U = XY , докажете че$f_U(u) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY} (u/v, v)|1/v|dv$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License