Probu8

Тука сложи заглавие

Задача 1

Докажете, че времето на чакане до първа поява на поасоново събитие е експоненциално разпределено. Какъв е параметърът на това
разпределение?

Решение:
Имаме случайна величина, която ще наречем $X$. Тя е поасоново разпределена
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
Ако искаме да намерим вероятността за това събитие се случи за пътви път(един път) (вероятността е и "времето" до чкане на събитие по-малка вероятност - повече време)
$P(X=1) = \lambda e^{-\lambda}$ - това много прилича на експоненциално разпределение, само че нямаме случайна величина.
Но ако имахме случайна величина и тя беше $1$ то параметърът на това еспоненциално разпределение ще е $\beta = \frac{1}{\lambda}$
А всъщност ние имаме случайна величина и тя е $1$ изглежда двете различни разпределения съвпадат за една от стойностите.
Не съм сигурен дали това е легално решение и обаснение.

Задача 2

Ако X е нормално разпределена със средно $\mu$ и дисперсия $\sigma$, докажете че:

$P( -\sigma + \mu < X < \sigma + \mu ) \approx 0.68$
$P(-2\sigma + \mu < X < 2\sigma + \mu ) \approx 0.95$
$P(-3\sigma + \mu < X < 3\sigma + \mu ) \approx 0.99$

Решение:
Центрираме и нормираме
$P( -1< \frac{ X - \mu}{-\sigma} < 1 ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{1} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \approx 0.68$
$P( -2< \frac{ X - \mu}{-\sigma} < 2 ) \approx 0.95$
$P( -3< \frac{ X - \mu}{-\sigma} < 3 ) \approx 0.99$

Гледаме в таблицата с разпределения или смятаме интеграла.

Задача 3

Намерете очакването на случайна величина със следната плътност:
$f(x) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}$

http://fmi.wikidot.com/anal206 - това се използва, при смяна на променливата
мисля, че задачата може да сереши и ако нарисуваме графиката на $f(x)$ и кажем че е симетрична относно $O(0,0)$
Но как да не решиш един такъв хубав интеграл.

(1)
\begin{array} {} (x^2)' = 2x \\ EX = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2} x dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2(1+x^2)} dx^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2} dx^2 + 1 = \\ \mbox{ тук сменяме променливите и правим граничен преход } \\ = \frac{1}{2\pi} \lim_{k \to \infty} \int_{-k}^{k}\frac{1}{1+x^2} dx^2 + 1 = \\ = \frac{1}{2\pi} \lim_{k \to \infty} \int_{-k^2-1}^{k^2+1} \frac{1}{y} dy = \\ = \frac{1}{2\pi} \lim_{k \to \infty} ln|k^2+1| - ln|k^2+1| = 0\\ \end{array}

Задача 4*

Атомна електроцентрала излъчва радиоактивни емисии средно два пъти на месец. Намерете вероятността да изминат поне 3 месеца преди първата такава емисия.

Решение:
Очевидно имаме поасоново разпределение и търсим вероятността
$P_\lambda(X=n) = \mathrm{e}^{-\lambda T}\frac{(\lambda T) ^n}{n!}$
и търсим за $T>=3, \lambda = 2, n = 0$ - искаме събитието да не се случва 3 месеца или повече време
$P_\lambda(X=0) = \mathrm{e}^{-6}\frac{(6) ^0}{1} = \frac{1}{e^6}$ понеже вероятността дали е повече от 3 месеца не ни интересува, това ще да е отговора

не съм много сигурен дали това решение е вярно

Задача 5

В Калифорния годишно се усещат около 500 земетресения. Такива с разрушителна сила обаче, има средно веднъж годишно. Каква е вероятността да изминат поне 3 месеца до първото такова земетресение? Ако не е имало такова земетресение в продължение на 4 месеца, каква е вероятността да няма такова още поне 3 месеца?

Отг.: $e^{-0.25} \approx 0.779$

Решение:
Отново поасоново разпределение със $\lambda = 1$ и
$P_\lambda(X=n) = \mathrm{e}^{-\lambda T}\frac{(\lambda T) ^n}{n!}$
искаме
$P_\lambda(X=0) = \mathrm{e}^{-{\frac{1}{4}}}$
Поасоновото разпределение е за независими случвания на събитието тъйче би трябвло да е -
$P_\lambda(X=0)* P_\lambda(X=0) = \mathrm{e}^{-{\frac{1}{4}}}*\mathrm{e}^{-{\frac{1}{4}}}$

Задача 6*

Повечето галактики имат формата на плосък диск, като степента на плоскост е различна. В Млечния път газообразната маса е разположена близо до центъра на галактиката. Нека с X означим разстоянието от този център до дадено струпване на такава маса. То е нормално разпределено със средно 0 и стандартно отклонение 100 парсека. Направете графика на плътността на X, отбележете на графиката вероятността газообразната маса да е на разстояние до 200 парсека и намерете тази вероятност. Приблизително каква част от масата е на по-голямо разстояние от 250 парсека? За какво разстояние 20% от масата е поне толкова далече от центъра? Каква е п.ф.м. на X?

Отг.: 0.9544; 1,24%; 128 p; $e^{5000t^2}$

Имаме нормално разпределение, като $\sigma = 100$ и $\mu = 0$. Центрираме и нормираме

$P( a < \frac{ X - \mu}{\sigma} < b ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$
$P( a < \frac{ X }{100} < b ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$
и така отговора на първияж върпос е
$P( -2 \geq \frac{ X }{100} \leq 2 ) = 0,95$ - правим същото като във втoра задача, малко по-горе

Следва
$P( -2.5 \leq X \geq 2.5) = 1 - P( -2.5 \geq X \leq 2.5) =$ изваждаме си една табличка, за да видим стойностите аз използвам тази - http://www.fcg.bg/bg/education/rm/table1.htm
$= 1 - 2*(0.5-0.0068) = 1.36%$

Следва - след какво разстояние от центъра остава 20% от масата.
Отиваме в табличката на нормално разпределение и гледаме кога остава 10%, тъйкато имаме две посоки
в талицата разстоянието е $1,28$ умнажаваме по 100, защото сме нормализирали и получаваме 128 парекса.

Задача 7*

Направен е следния експеримент, изследващт пространствената памет на животни: в кръг са поставени осем симетрични тунела и в края на всеки има храна. Гладното животно се поставя в центъра на кръга и се брои в колко от първите осем влизания в тунелите, животното избира тунел, в който има все още храна. Проучването показва $\mu = 7.9$. Нормално ли е разпределението?

Решение:
Не, при нормално разпределение очакването трябва да е по средата $\mu \approx 4$ или по-точно $\mu \approx 3.5+1$ защото случайната величина се мени от 1 до 8, няма как животното да не влезе в поне един тунел с храна.

Задача 8**

При определяне на разстояния по фотографски образ, вероятността за непренебрежима грешка е 0.05. Направени са 150 независими такива измервания. Нека X е броя на грешките. За да намерим вероятността за поне една такава грешка, може ли да се използва апроксимация с нормално разпределение? $(p \leq 0.5, np > 5$ или $p > 0.5, n(1-p) > 5)$ Каква е тази вероятност? Каква е приблизително вероятността за най-много три грешки?
Отг. $0.9956; 0.0668$

Решение:
$X$ е биномно разпределена - борй успехи от n опита.
Вероятността да има поне една грешка е равна на $1 - P(няма\ нито\ една\ грешка) = 1-(0.95)^{150} = 0.999544445$
Може ли да се използва апроксимация с нормално разпределение?
При големи стойности на $n$ и $\mu$ биномното разпределение клони към нормално разпределение със средна стойност $np$ и стандартно отклонение $np(1− p)$ - това следва от теоремата на Моавър-Лаплас http://fmi.wikidot.com/prob8#toc0

$(p \leq 0.5, np > 5$ - това е, като прегледам по-внимателно Моавър-Лаплас ще дам по-подробно обяснение.

…. като прегледам теоремата още :|

Задача 9**

Средния брой самолети, излитащи или кацащи на летище O'Hare е един на всеки 40 секунди. Каква е приблизителната вероятност поне 75 (по-малко от 100) излитания и кацания да бъдат осъществени в рамките на един час?

Отг. $0.9484; 0.8413$

Решение:
Имаме поасоново разпределение
$T = \frac {40}{3600}$
$P(X \geq 75) =$
$P(X \leq 100) =  $

Но тук трябва да приложим интегралната теорема на М-Л и да сведем задачата до нормално разпределние

Задача 10 * *

Нека с C означим температурата в градуси по Целзий, на която ще бъде изложен даден компютър и нека тя е равномерно разпределена в интервала (15, 21). Нека F е същата температура по Фаренхайт и $F = \frac{9}{5}C+32$. Намерете плътността на F.

Отг. 5/54, 59 < x < 69.8
Решение:
Не разбирам отговора, до колкото схващам просто правим смяна на променливата в функцията на плътността на темепературата по целзии.

Задача 11 * *

Нека Z е стандартно нормално разпределена случайна величина.
Намерете плътността на $Y = 2Z^2- 1$
Решение:
Мисля, че е отново смяна на променливата в интеграла ще гледам после

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License