Probu7

Маргинални разпределения

Table of Contents

Задача 1

В автомобилен завод се изпълняват от роботи две задачи: заваряване на два шева и затягане на три болта. Нека с X означим броя на дефектните заварки, a с Y - броя дефектно затегнатите болтове на един автомобил. Съвместната плътност е определена в следната таблица:

x/y 0 1 2 3
0 0.840 0.030 0.020 0.010
1 0.060 0.010 0.008 0.002
2 0.010 0.005 0.004 0.001

Определете маргиналните разпределения. Независими ли са X и Y ? Намерете $EX, EY, E(X + Y ), EXY, Cov(X, Y ), \rho XY , f_{X|y}$.

Решение:

Маргинални разпределения:
В случая те са таблици за случайните величини $X$ и $Y$

x $P(X = x)$
0 $0,840+ 0,030+ 0,020+ 0,010 = 0,9$
1 $0,060 + 0,010 + 0,008 + 0,002 = 0,08$
2 $0,010 + 0,005 + 0,004 + 0,001 = 0,02$
y 0 1 2 3
P(Y=y) $0,840 + 0,060 + 0,010 = 0,91$ $0,030 + 0,010 + 0,005 = 0,045$ $0,020 + 0,008 + 0,004 = 0,032$ $0,010 + 0,002 + 0,001 = 0,013$

Сега можем по-лесно да пресметнем $EX$

(1)
\begin{array} {} EX = 0(0,9) + 1(0,08) + 2(0,02) = 0,12 \end{array}

Сега $EY$ сумираме по колони, за да получим всяка вероятност за случайна величина на $Y$

(2)
\begin{array} {} EY = 0(0,91)+1(0,045) + 2(0,032) + 3(0,013) = 0,148 \end{array}

Следващото е $EXY$

(3)
\begin{array} {} EXY = \sum_{x} \sum_{y} x*y*(p(X=x,Y=y)) = \\ && 0*0*0,840 + 0*1*0,030 + 0*2*0,020 + 0*3*0,010 + \\ && 1*0*0,060 + 1*1*0,010 + 1*2*0,008 + 1*3*0,002 + \\ && 2*0*0,010 + 2*1*0,005 + 2*2*0,004 + 2*3*0.001 = 0,064 \end{array}

Следващото е $E(X+Y)$ , тук просто заменяме умножението между случайните велични със събиране

(4)
\begin{array} {} EXY = \sum_{x} \sum_{y} (x+y)*(p(X=x,Y=y)) = \\ && (0+0)*0.840 + (0+1)*0.030 + (0+2)*0.020 + (0+3)*0.010 + \\ && (1+0)*0.060 + (1+1)*0.010 + (1+2)*0.008 + (1+3)*0.002 + \\ && (2+0)*0.010 + (2+1)*0.005 + (2+2)*0.004 + (2+3)*0.001 = 0,268 \end{array}

Сега $Cov(X,Y)$

(5)
\begin{array} {} Cov(X,Y) = E(XY )−E(X)E(Y ) = 0,064 - 0,12*0,148 = 0,04624 \end{array}

Остана малко $\rho XY$, но за него ще ни трябват $VarX$ и $VarY$

$VarX = EX^2 - (EX)^2 = 0^2(0,9) + 1^2(0,08) + 2^2(0,02) - (0,12)^2 = 0,16- 0,0144 = 0,1456$
$VarY = EY^2 - (EY)^2 = 0^2(0,91)+1^2(0,045) + 2^2(0,032) + 3^2(0,013) - (0,148)^2 = 0,29 - 0,021904 = 0,268096$

$\rho XY =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{VarX}\sqrt{VarY}} = \frac{0,04624}{\sqrt{0,1456}\sqrt{0,268096}} = 0,23507179567507217569840535849889$

И за последно - условна плътност за $y = 2$
$f_{X|y=2}$ е просто 2-ра колона от таблицата.

x/y 2
0 0.020
1 0.008
2 0.004
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License