Probu5

Тука сложи заглавие

Тук задачите се решават, като гледаме и се досещаме кое разпределение трябвад а приложим.

Задача 1

Вероятността да се установи успешно връзка със сървър в определен момент е $p = 0.7$. Нека с $X$ означим броя на опитите необходими за
установяване на връзка. Намерете EX.

Решение:

Очевидно имаме геометрично разпределение с параметър $p$. За него знаем, че математичекското очаване е $EX = \frac{1}{p} = \frac{10}{7}$

Отг. $1/p = 10/7$

Задача 2

За оценка на поведението на различни алгоритми за сортиране, ефективността им се сравнява като се оцени средния брой стъпки (размени), необходими за да се сортира случайно избран масив. Тази оценки се сравняват с идеалното средно, т.е. мат. очакване на минималния брой стъпки - $X_n$. Тогава $Xn = X_{n-1}+I$, където $I = 0$, ако последния елемент е на правилната позиция и $I = 1$, в противен случай. Покажете, че $P(I = 1) = 1- \frac{1}{n}$. Покажете, че $EI = 1 - \frac{1}{n}$ и $EX_{n- i} = EX_{n-i-1}+1 - \frac{1}{n-i}$ , $EX_1 = 0$ и тогава $EX_n = (n-1) - \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i}$. Намерете $EX5$. Използвайте апроксимацията $\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i} = \int_{1.5}^{n+0.5} \frac {1}{t} dt$ за да намерите EX5 и сравнете резултата.
Генератор на случайни числа е използван за генериране на 100 различни тризначни числа между 0 и 1. Какво е очакването на броя стъпки за сортиране на тези числа?

Отг. 163/60=2.7167, 2.7007, 94.7953

Задача 3*

Нека X е геометрично разпределена с параметър p. Покажете, че вероятността X да е нечетно е $\frac{p}{(1-q)^2}$. Може ли тази вероятност да бъде 1/2?

Решение:
$\frac{p}{(1-q)^2} = \frac{1-q}{(1-q)^2} \ \frac{1}{(1-q)}$
Имаме
$P(X=k) = q^kp$
Вероятността $k$ да е нечетно е
$\sum_{k=1}^{\infty} q^{2k}p = \frac{p}{1-q^2} = \frac{(1-q)}{(1-q)(1+q)} = \frac{1}{1+q}$ защото е геометрична прогресия, не знам защо не се получава отговора в условието

$\frac{q}{1+q} = \frac{1}{2}$ за $q = 1$ означава, че не може да бъде $\frac{1}{2}$

Задача 4

80% от принтерите за домашна употреба работят добре при инсталирането им, а останалите имат нужда от допълнителни настройки. Фирма продава 10 принтера за една седмица. Намерете вероятността поне 9 от тях да работят без нужда от допълнителни настройки. Каква е съответната вероятност това да се случи за пет поредни месеца?

Отг. 0.3758

Решение:
Имаме биномно разпределение - брой успехи от $n$ опита при вероятност за успех $p=0.8$
Само че ни интересува кога ще имаме 9 или повече успеха.
$P(X=k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k}$
$P(X \geq 9)= \binom{10}{9}0,8^{9} 0,2^{1} + \binom{10}{10}0,8^{10}0,2^{0} = 0,26842 + 0,1073 = 0,3758$
Това е веорятността да се случи нашето събитие в седмицата. Сега искаме да знаем каква е вероятността това да се случи 20 поредни пъти(5 месеца по 4 седмици).
Отново имаме биномно разпределение $p = 0,3758, n = 20, k = 20$
$P(Y=k) = \binom{20}{20}( 0,3758)^20*1 = 3,15598925 × 10^{-9}$

Задача 5

От 20 процесора на склад 3 имат дефект, който не се забелязва с просто око. Избрани са 5 чипа и са инсталирани в многопроцесорна система. Нека X е броя на избраните дефектни процесори. Намерете разпределението на X, EX и V X. Намерете вероятността да няма избрани дефектни чипове.

Отг. 0.75, 0.5033; 0.3991

Решение:
Първо вероятността чип да е дефекнтен е : $p = 0,15$
Имаме биномно разпределение - брой успехи от $n$ опита.
$P(X=k) = \binom{5}{k}p^kq^{5-k}$
$EX = np , V X = npq$
$P(X=0) = \binom{5}{0}p^0q^{5} = q^5$

Задача 6

В Калифорния годишно се усещат около 500 земетресения. Такива с разрушителна сила обаче, има средно веднъж годишно. Каква е вероятността да има такова земетресение в рамките на 6 месеца? Неочаквано ли е да има 3 или повече такива земетресения за 6 месеца?

Решение:

Имаме поасоново разпределена величина с коефициент $k=1$ искаме да намерим вероятноста да се случи 1 път за половината време
$P_\lambda(X=1) = \mathrm{e}^{-0.5}\frac{(0.5) ^1}{1} = \frac{ 0.5} {e^{0.5}}$

Имаме същото, за $X=3$
$P_\lambda(X=3) = \mathrm{e}^{-0.5}\frac{(0.5) ^3}{6} = \frac{1}{6*8*\sqrt{e}}$ това би трябвало да е доста малко число, тъйче - да неочавкано е

Задача 7

Когато дадена програма се изпълнява в режим на времеделене, вероятността тя да започне да се изпълнява в рамките на 1 минута е 0.25. За един ден са подадени 5 такива програми (с достатъчно време между тях за да се считат за независими). Нека X е броя програми, чието изпълнение е започнало за 1 минута. Намерете EX и V X. Намерете вероятността нито една от тези програми да не бъде стартирана в рамките на 1 минута.
Отг. $5/4, 15/16; (3/4)^5$

Решение:

Отново търсим вероятност за брой успехи от $n$ опита $p=0.25$
X- биномно разпределенеа, следователно

$EX = np = 1,25$
$VX = npq = 1,25*0,75 = 0,9375$
$P(X=0) = 0,75^5 = 0,237304688$

Задача 8 *

Правят се изпитания на нов материал за обшивка на спирачки. Предполага се, че обшивката ще издържи поне 70 000 километра на 90% от колите, в които се използва. В лабораторни условия се симулира износването на материала върху 100 коли. С X означаваме броя на колите, при които обшивката трябва да се смени преди 70 000 км. Какво е разпределението на X, EX, V X? Как можем да апроксимираме X? Приемаме, че предположението за 90% не е вярно, ако поне 17 от тестваните коли не издържат теста. Каква е вероятността да отхвърлим това предположение случайно, а то всъщност да е вярно?
Отг. $10, 0.027$

Решение:
Предполага се, че обшивката на една кола ще издържи поне 70 000 км. с вероятност $p=0.9$.
$X$ е броя на дефектните коли - да наречем "успех" кола да е дефектна, тогава имаме вероятност за борй успех от n опита - биномно.
Като $p=1-0.9 = 0.1$ на биномно разпределената величина $X$
$EX= np = 0,1*100 = 10$
$VX= npq = 0,1*100*0,9 = 9$
$X$ можем да апроксимираме с Поасоново разпределение, за много големи $n$.
Вероятността 17 коли да са дефектни, ако вероятността кола да е ОК е $0.9$

$P(X = 17) = \binom{100}{17}(0,1)^{17} *{0,9}^{83} = 0,0105915309$ само че трябва да е сума от 17 до 100
$P(X \geq 17) = \sum_{k=17}^{100} \binom{100}{k}(0,1)^{k} *{0,9}^{100-k} =$ ако напиша програмка да го смята ще сложа резултата

Задача 9

В компютърна игра играчът трябва да открие съкровище, което се намира с равна вероятност зад една от пет затворени врати. Ако играчът познае вратата, съкровището е негово и играта завършва, ако не познае, се връща в началото на лабиринта, който води до петте врати и започва играта отначало. Нека X е броя опити, необходими за да се познае вярнята врата. Какъв е средния брой опити за намиране на съкровището? Колко е P(X > 3)?

Отг. $5, 64/125$

Решение:
Йей, този път имаме брой отпити до първи успех, което е геометрично разпределение
Вероятността нашия играч да познае вратата е $\frac{1}{5}$
$P(X=x) = q^xp = \frac{4}{5}^k\frac{1}{5}$

Средния брой опити за намиране на съкровището, ще да е математическото очакване?
$EX = \frac{1}{5} = 5$

$P(X>3) = \sum_{k=4}^{\infty} \frac{4}{5}^k\frac{1}{5} = \frac{1}{5} (\frac{4}{5})^3\frac{5}{5-4} = \frac{64}{125}$ - геометрична прогресия

Задача 10*

В автомобилен сервиз има 10 трансмисии, от които 3 имат дефект, който ще се прояви до 1000 км. Четири трансмисии са монтирани на атомобили на клиенти. Каква е вероятността нито една дефектна трансмисия да не е монтирана? А точно една?
Отг. 1/6, 1/2

Решение:

Тази задача се решава с комбинаторика.
Имаме по колко начина можем да изберем от 4 от 7 здрави трансмисии върху по колко начина можем да изберем 4 от 10 трансмисии
$\frac{\binom{7}{4}}{\binom{10}{4}} = \frac{1}{6}$
И другата част
$\frac{\binom{3}{1}\binom{7}{3}}{\binom{10}{4}} = \frac{1}{2}$

Задача 11 *

Смята се, че една от 10 коли има дефект в скоростомера, който води до отчитане на по-ниска скорост поне с 5 км/ч. За един ден 15 водача са спрени и глобени за превишаване на скоростта с поне 5 км/ч. Очаквано ли е поне 5 от тях да имат повреден скоростомер?
Отг. $0.0127$

Имаме биномно разпределение с $p=\frac{1}{10}, n = 15$ и тъсим
$P(x \geq 5) = 1 - P(x \leq 4) = 1 - 0.9873 = 0.0127$
Това $0.9873$ идва от таблиците за изчисление на суми от разпределения. Можете да си го сметнете и ръчно де, но дори с калкулатор е дългичка сметка.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License