Probu3

Тука сложи заглавие

На кратко, тези задачи се решават като вземем лицето на печелившите ни позиции и я разделим на лицето на всичките ни позиции.

Задача 1

От вътрешността на правилен шестоъгълник със страна $a$ по случаен начин е избрана точка. Каква е вероятността разстоянието от тази точка до центъра на шестоъгълника да не надминава x, $0 < x < a \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ?

Рисувам си шестоъгълник и около неговия център рисуваме кръг с радиус $x$.

Вроятността е [лицето на кръга]/[лицето на шестоъгълника]
$P = \frac{\pi x^2} {6 \dfrac{1}{4} a^2 \sqrt{3}} = \frac{2 \pi x^2} {3 a^2 \sqrt{3}}$

Отг. $\frac{2\pi x^2 \sqrt{3}}{9a^2}$

Задача 2

Определете вероятността корените на квадратното уравнение $x^2 + 2ax + b = 0$ да са реални, ако стойностите на коефициентите са равновъзможни в правоъгълника $-k \leq a \leq k, -l \leq b \leq l$.

Отг.
$1 - \frac{\sqrt{l}}{3k}, l \leq k^2 ; \frac{1}{2} + \frac{k^2}{6l} , l \geq k^2$

Решение:

За да има реални корени, дискриминантата на уравнението трябва е положителна
$D = a^2 -b $] искаме [[$ a^2-b > 0$
$b > a^2$
Рисуваме си графиката на тази функция (абциса - $a$, ордината - $b$)

Слагаме правоъгълника дефиниран от $-k \leq a \leq k$ и $-l \leq b \leq l$
Сега разделяме двата случая - дали графиката на дискриминантата пресича първо правата $a = l$ или правата $b = k$

1. Пресича правата $a = k$, иначе казано $l \geq k^2$
И така стигнахме до задачата за вроятността. Пространството от изходи е правоъгълника $-k \leq a \leq k$ и $-l \leq < b \leq < l$. Пложителна дискриминанта ще имаме ако смед над графиката на функцията.

Сега Трабва да сметнем лицето затворено от кривата. Лицето може да се сметне по няколко начина. Тук ще сметнем лицето под графиката в оърви квадрант.
$\int_{0}^{a} a^2 d a = \frac{2a^2}{3} |_0^{k} = \frac{k^3}{3}$
сега вече можем да сметнем вероятността

(1)
\begin{array} {} \frac{2kl - 2(\dfrac{k^3}{3})}{4kl} = \frac{6kl - 2k^3}{12kl} = \frac{1}{2} - \frac{k^2}{6l} \end{array}

2. $l \leq k^2$

Задача 3

От отсечка с дължина единица са избрани случайно две точки.
Каква е вероятността нито една от получените три части да не е
по-малка от a, $0 \leq a \leq 1/3$ ?
Отг. $(1-3a)^2$

Задача 4

Върху отсечка случайно се избират две точки, които я разделят на три части. Каква е вероятността от тях да може да се построи
триъгълник? Отг. 1/4

Задача 5

Върху отсечката AB се хвърлят по случаен начин три точки. Да
се намери вероятността от трите отсечки, равни на разстоянията
от A до тези точки, да може да се построи триъгълник. Отг. 1/2

Задача 6

В хоризонтална равнина са прекарани прави, които я разделят на правоъгълници със страни a и b, $(a \leq b)$. Върху равнината случайно се хвърля монета с диаметър $2r < a$ . Да се намери вероятността монетата да не пресича нито една от правите.

Отг. $\frac{ (a-2r)(b-2r) }{ab}$

Решение:

Скъпи, читателю, нарисувай си на едно листче едно правоъгълниче със страни $a$ и $b$. Сега долепи още няколко такива до него.
Вътре, във всяко правоъгълниче, нарисувай още едно правоъгълниче, всяка страна на правоъгълничето на разстояние $r$ от страните на външното правоъгълниче. Сега лесно се вижда, че за да не пресича монетата нито една линия, трябва центърът да попадне в по-малкия правоъгълник - следователно
отговорът е лицето на малък правоъгълник / лицето на голям правоъгълник

$\frac{ (a-2r)(b-2r) }{ab}$

Задача 7

Върху хоризонтална равнина са начертани успоредни прави на разстояние 2L една от друга. Да се намери вероятността случайно хвърлена игла с дължина 2l, l < L да пресече някоя от правите.
Отг. $\frac{2l}{\pi L}$

Решение:

Добре, рисуваме си линиийите и хвърляме иглата.
Иглата пада под ъгъл $\alpha$ спрямо правите начертани. Нека фиксираме ъгъла и да сметнем за него.
Ще разглеждаме къде пада средата на иглата и ще разглеждаме околноста $[-L, L]$ на една от правите.

Избираме си един отрязък от линията с дължина $b$ след това $b$-то ще се съкрати и няма да ни интересува(иначе ще го пуснем да клони към беззкрайност).
И така ако центъра на иглата падне в правоъгълника с лице $b 2 l \sin \alpha$ ще пресече правата(правоъгълника 'около' правата която разглеждаме) ще пресече правата.
Пространството което разглеждаме е правоъгълника с лице $2bL$
И така вероятността в случая е $\frac{2 b l \sin \alpha}{ 2 b L } = \frac{l \sin \alpha}{ L }$
Сега прилагаме формулата за пълна вероятност по $\alpha$ и си казваме че събитието ни е $P(A | alpha = c ) = \frac{l \sin c }{ L }$

(2)
\begin{array} {} P(A ) = \sum_{c = 0}^{\pi} P( \alpha = c) \frac{l \sin c}{L} \\ само\ детo\ в\ случая\ трябва\ да\ е\ интеграл,\ а\ не\ сума \\ P(A ) = \int_{c = 0}^{\pi} \frac{1}{\pi} \frac{l \sin c}{L} d c = \\ = \frac{1}{\pi} \frac{l }{L} \int_{ 0}^{\pi} \sin c d c = \\ = \frac{1}{\pi} \frac{l }{L} \int_{ 0}^{\pi} \sin c d c = \\ = \frac{1}{\pi} \frac{l }{L} 2 \int_{ 0}^{\frac{\pi}{2}} \sin c d c = \\ = \frac{1}{\pi} \frac{l }{L} 2 \end{array}

Задача 8

Появата на събитието A е равновъзможна във всеки момент от интервала [0, T]. Вероятността A да се появи изобщо в този интервал
е p. Известно е, че до момента t, 0 < t < T, A не се е появило. Да се
пресметне вероятността A да се появи в интервала [t, T]. Отг. $\frac{ T-t }{T-pt}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License