Probu2

Тука сложи заглавие

Задача 1*

Нека разпределението на видовете кръвни групи е следното: A - 41%, B - 9%, AB - 4%, O - 46%. Каква е вероятността кръвта на случайно избран човек да съдържа антиген A? А да съдържа антиген B? А да съдържа антиген нито A, нито B? Проучване показва, че 39% от гените, определящи Rh фактора са отрицателни. Всеки индивид наследява един ген от бащата и един ген от майката, като Rh факторът е отрицателен когато и двата наследени гена са
отрицателни. Каква е вероятността случайно избран човек да има отрицателен резус фактор? Кръвната група и резус факторът са независими. Каква е вероятността човек да е от AB- група?
Отг.: 45%; 13%; 46%; 0,392; 0,392; 00,4.

Решение:

Първо си разписваме даденото от условието в смисъла на вероятност на събития
$P(A) = 0,41$ - веорятност кръвна група да е А
$P(B) = 0,09$ - веорятност кръвна група да е B
$P(AB) = 0,04$ - веорятност кръвна група да е AB
$P(0) = 0,46$ - веорятност кръвна група да е 0
$P(Rh-) = 0,39$ - вероятността ЕДИН случайно избран ген(определящ Rh фактор) да е отрицателен. ЕДИН ГЕН, не един човек!
$P(Rh- \cup AB) = P(Rh-)*P(AB)$ - независими са.
След това търсеното от условието
$P(A \cup AB) = ?$
$P(B \cup AB) = ?$
$1 - P(A \cup B \cup AB) = ?$
$P(Rh- and Rh-) = ?$
$P(Rh- \cup AB) = ?$

И сега заместваме по формулите, в случая обединяваме независими събития
$P(A \cup AB) = P(A)+P(AB) = 0,44$
$P(B \cup AB) = P(A)+P(AB) = 0,13$
$1 - P(A \cup B \cup AB) = 1 - 0,41 - 0,09- 0,04 = P(0) = 0,46$

А тук ще трябва да умножим нашето вероятностно пространство със себе си, така че да имаме наредена двойка независими събития.
$P(Rh- and Rh-) = 0,39^2 = 0,1521$
$P((Rh- and Rh-) and AB) = 0,1521*0,04$
и тука сметката не излиза нещо… ще я проверя довечера

Задача 2

Космически кораб има два двигателя, които работят паралелно. Ако главния двигател има сигурност 95%, резервния - 80%, а за цялата система сигурността е 99%, каква е вероятността и двата двигателя да работят едновременно? Вярно ли е, че P[резервният двигател работи] = P[резервният работи | главният не работи]? Независими ли са събитията A1: резервният двигател работи и A1: главният двигател изключва?

Отг.: 0,76; да.

Решение:

Първо ще си дефинираме вероятностите и събитията с буквички, за да изглежда по формално
Имаме следните събития $W1$ - пространство от изходи в които двигател 1 работи, $W2$ - същото за двигател 2 работи
можем да ги обединим и пресечем
и сега
$P(W1) = 0.95$
$P(W2) = 0.80$
$P(W2 \cup W1) = 0.99$ - поне едни двигател работи (обединяваме пространствата на изходите така)
това което търсим е и двата двигателя да работят, тоест взмаме сечението на пространствата от изходи $P(W1 \cap W2) = ?$
Тук прилагаме принципа за събиране и изваждане, който в случая гласи
$P(W1 \cup W2) = P(W1) + P(W2) - P(W1 \cap W2)$
$P(W1 \cap W2) = P(W1) + P(W2) - P(W1 \cup W2)$ 
$P(W1 \cap W2) = 0.95 + 0.80 - 0.99 = 0.76$ 

Следващото нещо кеото търсим е :
P[резервният двигател работи] = P[резервният работи | главният не работи]
$P(W1) ?= P(W1|W2^c)$
Разписваме дясната страна
$P(W1 | W2^c) = \frac{ P(W1 \cap W2^c) }{P W2^c}$
Това би било така, ако $P(W1 \cap W2^c) = P(W1)P(W2^c)$
Това би било вярно, ако $W1$ и $W2$ са независими, но (защото http://fmi.wikidot.com/prob3#toc6 )
$P(W1 \cap W2) = P(W1 W2) = 0,76 = P(W1)P(W2) = 0.95*0.80$
Следователно
$P(W1 | W2^c) = \frac{ P(W1 \cap W2^c) }{P W2^c} = \frac{ P(W1) P( W2^c) }{P W2^c} = P(W1)$
остана да проверим само **Независими ли са събитията A1: резервният двигател работи и A1: главният двигател изключва? **
което означава
$P(W2 \cap W1^c) ?= P(W2 )P( W1^c)$ вече доказахме, че $W1$ и $W2$ са независими от което следва че и тези двете са независими

Задача 3

Генератор на случайни числа работи по следния начин: за да се симулира генерирането на двуцифрено число, генераторът се активира два пъти за всяка от цифрите, като теоретично всяка цифра има еднаква вероятност да бъде избрана. Колко такива случайни двуцифрени числа са възможни? Колко от тях започват с 2? Колко завършват на 9? Колко започват с 2 и завършват на 9? Каква е вероятността такова число да завършва на 9, при условие, че започва с 2?

Решение:

В случая имаме две позиции, някои от тях ще фиксираме.
1 - Колко общо възможни комбинации имаме, тоес по колко начина можем да изберем 2 елемента от множество от 10 като връщаме
$10^2 = 100$
2 - Ако фиксираме първото число - остава по колко начина можем да изтеглим 1 елемент от множество от 10 елемента - очевидно 10
3 - Същото като горното
4 - ….сериозно….
5 - Иначе казано - Каква е вероятноста да изтеглим един определен елемент от множеството ни с 10 елемента - $\frac{ 1}{10}$
Отг.: 100; 10; 10; 1; 1/10.

Задача 4

Проведен е следният експеримент за изследване на паметта: показва се запис на кола, която се движи по междуградски път. На записа няма склад. След това на човека, който е гледал записа се задават поредица въпроси. Половината от хората са запитани "Колко бързо се движеше колата, когато мина покрай склада?". На другата половина този въпрос не е зададен. По-късно всеки е попитан "Имаше ли склад във филма?". От тези, на които е бил зададен и първия въпрос, 17% отговарят с "да", само 3% от останалите отговарят с "да". Каква е вероятността случайно избран участник в експеримента да отговори положително? Такъв отговор независим ли е от задаването на първия въпрос?

Отг.: 1/10; не.

Решение:
Първа част на задачата:
Събитията ни са $K$ - човека е бил питан, $T$ - човека е отговорил "да"
и така имаме $P(K) = 0.5$ - вероятноста човека да е бил питан "колко бързо.. кола..скалд?"
$P(T)$ - вероятноста човека да каже "да, имаше склад"
$P(T|K) = 0.17$
$P(T|K^c) = 0.03$
Прилагаме пълна вероятност за намирането на $P(T) = P(T|K) + P(T|K^c) = 0.20$

Втора част:
Незавимо ли е $T$ от $K$
$P(T)P(K) = 0.20*0.50 = 0.10$
$P(T \cap K) = P(TK) = ?$ за намирането на това ще приложим формулата за условна вероятност
$P(T|K) = \frac{ P(TK)}{P(К)}$ от където
$P(TK) = 0.17*0.5 = 0.085$ следователно са зависими

Задача 5*

Вероятността дадена банка кръв да е дарена от платен донор е $0,67$. Ако донорът е бил платен, вероятността да е заразена с хепатит е $0,0144$, а ако не е платен - $0,0012$. Каква е вероятността случайно избрана банка да е заразена с хепатит?

Решение:

Първо трябва да си дефинираме хубаво събитията и техните вероятности:
$Paid$ - платен донор
$Hep$ - кръвта има хепатит

И така получаваме
$P(Paid) = 0,67$
$P(Paid^c) = 1 - 0,67 = 0,33$
$P(Hep | Paid) = 0,0144$
$P(Hep | Paid^c ) = 0,0012$

А ние търсим $P(Hep) = ?$

И така прилагаме формулата за пълна вероятност
$P(Hep) = P(Hep | Paid)P(Paid) + P(Hep | Paid^c)P(Paid^c) = 0,0144*0,67 + 0,0012*0,33 = 0,009648 + 0,000396 = 0,010044$

Отг*.: $0,0094 \approx 0,01$
*Тук получаваме различен от дадения отговор… но не знам къде бъркам в сметките

Задача 6

Докажете, че невъзможното събитие е независимо от всяко друго
събитие.

Решение:

(1)
\begin{array} {} P(\varnothing) = 0 \\ P(A) = a \\ P(A\varnothing) ?=? P(a)P(\varnothing)\\ P(A\varnothing) = P(A \cap \varnothing) = P(\varnothing) = 0 = P(A)P(\varnothing) = a*0 = 0 \end{array}

Задача 7

Докажете, че ако $A_1$ и $A_2$ са независими, то и $A_1$ и $A_2^c$ са независими. Също и за $A_1^c$ и $A_2^c$.

Решение:
Нарисувайте си диаграмите на Вен, за да видите
$A_1 \cap A_2^c = A_1 \setminus (A_1 \cap A _2)$

(2)
\begin{array} {} P(A_1)=a \\ P(A_2)=b \\ P(A_1A_2)= P(A_1)P(A_2) = ab \\ P(A_1 A_2^c) = P(A_1 \setminus (A_1 \cap A _2) ) = P(A_1) - P(A_1A_2) = a -ab = a(1-b) \\ \end{array}

Второто е аналогично, но
$A_1^c \cap A_2^c = A_1^c \setminus (A_1^c \cap A _2)$

Задача 8

Докажете, че ако две събития (с ненулева вероятност) са взаимно изключващи се, то те не са независими, както и обратното.
Решение:

(3)
\begin{array} {} P(A|B) = 0 \\ P(B|A) = 0 \\ P(A) = a\\ P(B) = b\\ P(AB) = P(A|B)P(B) = 0 \neq P(A)P(B) P(A)P(B) = ab \neq P(AB) = P(A|B)P(B) = 0 \end{array}

Задача 9*

Половината от произвежданите компютърни чипове са дефектни. Проверка на легалния пазар на чипове показва че дефектните са 5%. За съжаление преди да стигнат до пазара част от чиповете се крадат (и се продават нелегално). Ако 1% от чиповете се крадат, намерете вероятността да бъде откраднат чип, ако той е дефектен.
Отг.: 0,09.

Решение:

(4)
\begin{array} {} P(D) = 0.5\ - \ вероятноста\ чипа\ дефектен \\ P(D|L) = 0.05\ -\ дефектни\ чпове\ на\ легалния\ пазар \\ P(L^c) = 0.01 \ - \ вероятността\ чипа\ да\ е\ откраднат\ тоест\ да\ не\ е\ легален \\ търсим \ - \ P( L^c | D) = ? \\ имаме\ няколко\ формули\ за\ прилагане,\ пробваме\ няколко\ докато\ видим\ че,\ формула\ за\ пълна\ вероятност\ работи \\ P(D) = P(D|L)P(L) + P(D|L^c)P(L^c) \\ P(D|L^c) = \frac{P(D) - P(D|L)P(L)}{P(L^c)} \\ P(L^c | D) = \frac{ P(D | L^c) P(L^c)} {P(D)} = \frac{ P(D) - P(D|L)P(L)} {P(D)} = 1 - \frac{0,05*0,99}{0,5} = 0,9 \end{array}

отговора не съвпада, но логически ми изглежда по-верен, ще проверя задачата отново по-късно

Задача 10*

Дадено електронно съобщение се кодира с таен криптиращ ключ преди да бъде изпратено, но ключът може да бъде откраднат. Нека 95% от получените съобщения са автентични. 0.1% от неавтентичните съобщения са криптирани с правилния ключ и всички автентични съобщения са кодирани с правилния ключ. Намерете вероятността едно съобщение да е автентично, при условие, че е използван правилния ключ.

Отг.: 0,9995.

Решение:
А - съобщението е автентично
К - критптирано с правилен ключ

(5)
\begin{array} {} P(A) = 0,95 \\ P(K|A) = 1 \\ P(K | A^c) = 0,01 \\ \\ P(A | K) = \frac{ P(K|A)P(A)}{P(K)} \\ P(K) = P(K|A)P(A) + P(K|A^c)P(A^c) \\ P(A | K) = \frac{ P(K|A)P(A)}{P(K|A)P(A) + P(K|A^c)P(A^c)} = \frac{ 0,95 }{0,95 + 0,01*0,05} = \frac{ 0,95 }{0,950005} = 0,99947 \end{array}

Задача 11

Три двуцифрени числа се генерират случайно, като вероятността за всяка от стойностите 00, 01, …, 99 е една и съща. Каква е вероятността такова число да е по-малко от 50? Каква е вероятността всяко от трите числа да е по-малко от 50?

Отг.: 1/2; 1/8.

Решение:
Тук, може би, за офииално решене трябва да се използва формула за пълна вероятност
$А$ - числото е по-малко от сто
$B=x$ числото изтеглено е число равно на x
$P(A) = \sum_{x=00}^{99} P(A|B=x)P(B=x)$

За втората част - прилагаме принципа за умножение
$\frac{1}{2} \frac{1}{2}\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Задача12

В компютърен център има три принтера А, Б и В, които работят
с различна скорост. Заявките за печат се изпращат към първия
свободен принтер. Вероятността заявка да бъде изпратена към А, Б
или В са съответно 0.6, 0.3 и 0.1. Вероятността за всеки от принтерите
да се задави и да провали печатането е съответно 0.01, 0.05 и 0.04
съответно. Ако печатането на даден документ се прекрати, каква е
вероятността това да е по вина на всеки от трите принтера? Отг.:
0:24; 0:6; 0:16.

Задача 13

Намерете $C_1 \cup c_2$ и $C_1 \cap c_2$, ако $C_1 = \{ (x,y) : 0 < x < 2, 1 < y < 2 \}, C_2 = \{ (x,y) : 1 < x < 3, 1 < y < 3 \}$

Отг.: $\{ (x,y) : 1 < x < 2, 1 < y < 2 \}$

Задача 14

Намерете допълнението на $C$ спрямо $G$, ако $G = \{ (x,y) : |x|+|y|\leq 2\} , C = \{ (x,y) : x^2 + y^2 < 2 \}$

Отг.: Начертайте графиките.

Задача 15

Ако $C_1, C_2, C_3,...$ са множества, такива че $C_k \subset C_{k+1}, k = 1,2,3,...$ $\lim_{k \to \infty} C_k$ се дефинира като обединението $C_1 \cup C_2 \cup ....$ Намерете $\lim_{k \to \infty} C_k$ ако $C_k = \{ x : 1/k \leq x \leq 3 - 1/k \}, k= 1,2,3,....$
Отг.: $\{x : 0 < x < 3\}$

Задача 16

Ако $C_1, C_2, C_3...$ са множества, такива че $C_k \supset C_{k+1}, k= 1,2,3...$ и $\lim_{k \to \infty}$ се дефинира като сечението $C_1 \cap C_2 \cap ...$ Намерете $\lim k\to \infty C_k$ ако $C_k = \{ x: 2-1/k < x \leq 2 \}$ и $\lim_{k \to \infty} C_k$ ако $C_k = \{x : 2 < x \leq 2+1/k\}, k=1,2,3,...$
Отг.:$\{ x = 2\}, \varnothing$

Задача 17

Картите от две тестета се обръщат едновременно една по една.
Казваме, че имаме пълно съвпадение, ако едновременно обърнатите
карти от двете тестета са идентични. Нека pM е вероятността да
имаме поне едно пълно съвпадение. Покажете, че $pM = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} +...+\frac{1}{52!}$. Покажете, че $pM$ е приблизително равно на $1 - e^{-1} =0,632$ .

Задача 18

Пресметнете вероятността от едно тесте да бъде изтеглена ръка от
13 карти, състояща се от (а) 6 пики, 4 купи, 2 кари и 1 спатия; (б) 13
карти от една боя. Каква е вероятността да има поне три попа, при
условие, че ръката съдържа поне два?

Отг.: ${ 13 \choose 6}{ 14 \choose 4}{ 13 \choose 4}{ 13 \choose 1}; 4/{ 52 \choose 13}; 11/37$

Задача 19

В кутия с 50 електрически крушки има 2 дефектни. Инспектор
по контрол на качеството преглежда 5 крушки, които се избират
случайно и без връщане. Намерете вероятността поне една от дефектните
крушки да е сред петте. Колко крушки трябва да бъдат прегледани,
така че тази вероятност да премине 1/2? Отг.: 14.

Задача 20

Провеждаме експеримент да изберем случайно едно реално число
от интервала $(0, 1)$. За всеки подинтервал $(a, b) \subset (0, 1)$ смислено
изглежда да определим вероятността $P[(a, b)] = b-a$, т.е. вероятността
избраното число да е от даден подинтервал е пропорционална на
дължината на подинтервала. Изберете подходяща редица от подинтервали,
така че да покажете, че за всяко $a \in (0, 1), P[(a)] = 0$.
Отг.:
$C_n = \{x : a-1/ n < x \leq a \}$

Задача 21

Двойка зарове се хвърлят докато се падне седем или осем. Докажете,
че вероятността да се падне седем преди осем е 6/11. Ако заровете
се хвърлят докато се паднат две седмици или шест и осем поне по
веднъж, докажете, че вероятността да се падне шест и осем преди
седмиците е 0.546.

Задача 22

Урна съдържа три червени (Ч) и седем бели (Б) топки с еднакви
размери и тегло. Ако избираме последователно и с връщане като
събитията бяла топка на n-ти път се считат за независими, какви
са вероятностите за избор на следните последователности от четири
опита: (а) ББЧБ, (б) ЧБББ, (в) БББЧ, (г) БЧББ. Каква е вероятността
за точно една червена топка от четири опита? Отг.: $4(0.7)^3(0.3)$.

Задача 23

Теглят се карти от обикновено тесте с връщане до изтеглянето на
пика. Каква е вероятността да са необходими поне 4 тегления? А
ако се теглят без връщане? Отг.: $0.42; 0.41$.

Задача 24

24. Човек отговаря на всеки от два въпроса с по четири възможни
отговора като избира случайно. Каква е вероятността и двата отговора
да са верни, при условие че единият е верен. Отг.: 1/7.

Задача 25

Зар се хвърля шест пъти. Имаме съвпадение, ако на i-тия път се
пада i. Каква е вероятността за поне едно съвпадение? Каква е
вероятността за n-стенен зар, който се хвърля n пъти при $n \to \infty$.
Отг.: $1 - (5/6)^6; 1 - e_{-1}$.

Задача 26

$A$ хвърля зар и печели при падането на 6. Ако той не спечели, $B$ хвърля и печели, ако се падне 5 или 6. След това $A$ печели на 4, 5 или 6 и т.н. Каква е вероятността за всеки играч да спечели?

Отг.: $0.52; 0.48$.

Задача 27

Нека $C1, C2, C3$ са независими събития с вероятности съответно 1/2, 1/3 и 1/4 . Колко е $P(C1 \cup C2 \cup C3)$

Отг.: 3/4

Задача 28

Всяко чувалче в един сандък съдържа по 25 луковици на лалета. Знае се, че 60% от чувалчетата съдържат по 5 луковици за червени и 20 за жълти лалета, а останалите по 15 за червени и 10 за жълти. Случайно се избира едно чувалче и от него една луковица. Каква е вероятността тя да е за жълто лале? При условие, че лалето е жълто, каква е вероятността да е взета от първия вид чувалчета?
Отг.: 16/25; 3/4.

Задача 29

Играч залага 1 лев срещу b лева за това, че може да изтегли две карти от едно тесте и те да са от една боя. Намерете b, така че залогът да е справедлив?
Отг.: 13/4.

Задача 30

Приблизително една трета от всички близнаци са еднояйчни, а две трети са двояйчни. Еднояйчните близнаци винаги са от един пол като вероятността за мъжки и женски пол е еднаква, а при двояйчните една четвърт са момичета, една четвърт са момчета и половината са смесени. Сред всички раждания близнаците са едно на 90. Определете следните събития: A = раждат се двойка близнаци момичета, B = раждат се еднояйчни близнаци, C =
раждат се близнаци. Кое е събитието $A \cap B \cap C$ Намерете $P(A \cap B \cap C)$.
Отг.: 1/540.

Задача 31

Две монети се хвърлят едновременно и независимо една от друга, като вероятността за ези на първата е u, а на втората е w. Определете
$p_0 = P(0 "$ези$"), p_1 = P(1$"ези"$), p2 = P(2 " ези")$. Може ли да изберем u и w, така че $p_0 = p_1 = p_2$? Отг.: не.

Задача 32

Ако $P(A) = 1/3$ и $P(B^c) = 1/4$, може ли A и B да са несъвместими?
Отг.: не.

Задача 33

В шкафа има $n$ чифта чорапи. Ако $2r$ чорапа са избрани случайно, каква е вероятността измежду тях да няма нито един чифт?
Отг.: ${ n \choose 2r }2^{2r} / { 2n \choose 2r }$

Задача 34

В лотария се теглят дните от годината (включително 29 февруари). Каква е вероятността първите 180 изтеглени дни да са разпределени поравно между месеците на годината? Каква е вероятността първите 30 изтеглени дни да не са от месец септември?

Отг.: $10^{-8} 0.167; {336 \choose 30 } / {336 \choose 30 } ?!?!$

Задача 35

Двама души едновременно хвърлят монети n пъти. Каква е вероятността
те да хвърлят равен брой ези? Отг.: [[$ { (\frac{1}{4})^n { 2n \choose n }

Задача 36

Двама играчи A и B хвърлят монета последователно независимо един от друг, като първия, който хвърли "ези" печели. Нека A хвърля пръв. Ако монетата е правилна, каква е вероятността да спечели A? Ако вероятността за "ези" е p, каква е вероятността A да спечели? Докажете, че за всяко p, вероятността A да спечели е
по-голяма от 1/2.
Отг.: [[$ 2/3; frac{ p }{1 - (1 - p)^2 }

Задача 37

Семейство има две деца. Поне едно от тях е момче. Каква е вероятността
и двете да са момчета? Отг.: 1/3.

Задача 38

Правилен зар се хвърля докато се падне 6. Каква е вероятността да са необходими повече от 5 хвърляния за това?
Отг.: (5/6)^5.

Задача 39

Работодател наема един от N кандидати, като потенциала на всеки
кандидат се оценява по скала от 1 до N. Изборът на кандидат се
осъществява по следния начин: 1. Всеки кандидат се явява последователно
и се решава дали той да бъде нает или не. 2. Ако са отхвърлени m-1
кандидата, работодателя може да наеме m-тия кандидат само ако
той е по-добър от предишните. Ако е избран i-тия кандидат, каква
е вероятността той да е най-добрия? Отг.: .

Задача 40

Двоично съобщение може да има грешка (инверсия) във всеки бит с вероятност 1/4 от 0 в 1 и 1/3 от 1 в 0. Пропорцията на изпратените
0-и и 1-и е 3 : 4. Ако е получена 1, каква е вероятността да е била изпратена 1? Ако е получено съобщение 00, какво е разпределението
на възможните изпратени съобщения? Отг.: .

Задача 41

Стандартизиран тест съдържа 20 въпроса, всеки с по 4 възможни отговора. Ако студент отговаря случайно и независимо на всички
въпроси, каква е вероятността да е отговорил правилно на поне 10
въпроса? Отг.: .

Задача 42

На опашка за билети с цена 10 лева са наредени m + n души, от
които m имат в себе си банкноти по 10 лева и n имат банкноти по
20 лева. Намерете вероятността никой да не чака за ресто, ако в
началото в касата няма пари?

Отг.: $\frac{n-m+1}{n+1}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License