Probu10

Тука сложи заглавие

http://w3.uacg.bg/UACEG_site/acadstaff/userfiles/study_bg_361_VS7.pdf

Задача 0

Взети са n проби от водата на една река и са преброени коли бактериите във всяка от тях - поасоново разпределени с параметър k. Да се намери МПО на k.

Решение:
$f(x) = e^{-k}\frac{k^{x}}{x!}$.

Търсим метод на максималното правдоподобие за k тоест за кое $k$
$f(x_1)*f(x_2)*f(x_3)...f(x_n)$ се максимизира

(1)
\begin{array} {} e^{-k}\frac{k^{x_1}}{x_1!} * e^{-k}\frac{k^{x_2}}{x_2!} ... e^{-k}\frac{k^{x_n}}{x_n!} \end{array}

В общия случай, това май не е лесна задача. В частния случай се прави с произовдна.

Задача 0

При оценка на действието на даден медикамент за лечение на левкемия е измерено средно време на преживяемост на пациентите след поставяне на диагнозата 13 месеца и дисперсия 9. За 95%-ен доверителен интервал на средното време на преживяемост на пациентите вземали даденото лекарство получаваме $P( (\bar{X}) - \frac{1.96 \sigma }{\sqrt{n}} \leq \mu \leq (\bar{X}) + \frac{1.96 \sigma }{\sqrt{n}} ) = 0.95$. Ако за n = 16 пациента
е измерено средно $\bar{x}$ = 13.88, то получаваме следния доверителен
интервал [12.41, 15.35].

Задача 1 *

Имаме следните данни, които са експоненциално разпределени с параметър $\beta: 16,17, 20, 15, 17, 16, 18, 19, 16, 15, 15, 15$. Намерете оценка по метода на моментите за $\beta$ и дисперсията $\sigma^2$. Сравнете с МПО.

Решение:
Експоненциалното разпределение има плътност $f(x) = ke^{-kx}$
$EX = \frac{1}{k}$

$E\bar{X} = \frac{199}{12} = \frac{1}{k}$
$k = \frac{12}{199}$

Сега по МОП

максимизираме
$f(x_1)...f(x_12) = k^{12}e^{-k199}$

$(k^{12}e^{-k199})' = k^{11}e^{-k199}(12-199k) \Rightarrow k =\frac{12}{199}$

Задача 2

"Едностранен" доверителен интервал се използва за оценка на максималната сойност на дисперсията (тъй като е желателно тя да е малка) и има следната форма $(0,L]$, така че $P(\sigma^2 \leq L) = 1- \alpha$. Намерете $L$ за нормална извадка. Следните данни са измервания на отместването (в инчове) про поставянето на лепило на определена позиция от даден робот:

0,001 0,002 0,003 0,002 0,002
0,007 0,003 0,004 0,003 0,006
0,006 0,003 0,005 0,004 0,004

Намерете 90%-ен доверителен интервал за $\sigma^2$ и $\sigma$, за да прецените годността на робота.

Задача 2

В цех за електроника излизащите от конвейра изделия се проверяват за даден дефект последователно до намирането на дефектно изделие. Ако над 90% от изделията нямат дефект, партидата се приема за качествена. Нека $X$ е броя проверени изделия до намиране на дефектно иделие. Ако над 90% от изделията нямат дефект партидата се приема за качествена. Нека $X$ е броя проверени изделия до намиране на дефектно. Какво е разпределението на $X$? Проверете хипотезата $H_0$: партидата не е качествена за параметъра $p$ - вероятността за откриване на дефектно изделие. За $\alpha$ между $0.05 - 0.1$, намерете критичната стойност на теста. Ако са проверени $40$ последователни изделия, трябва ли да отхвърлим $H_0$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License