Тема 9

Математическо очакване и дисперсия. Свойства.

Дефиниция: Математическо очавкане(МО)

Математическо очаване на дискрента величина $X$ наричаме числото $EX = E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k = \sum_{k=1}^{\infty} P(x = x_k)x$

Свойства:

1. $c - const \rightarrow Ec = cP(x= c) = c.1 = c$
2. $X,Y$ - случайни величини, следователно $E[X+Y] = EX + EY$
3. $a,b - const, X,Y$ - случайни величини, следователно $E[aX + bY] = aEX+bEY$

Доказателства:

2. Нека на $X$ сме съпоставили $\{H_i\}_{i=1}^{n}$ , така че $H_iH_j = \varnothing, i \neq j$ и $\sum_{i=1}^{n} H_i = \Omega$ и $x_n = P(H_n) = P(X = x_n)$. Нека на $y$ сме съпоставили $\{G_j\}_{j=1}^{m}$, така че $G_iG_j= \varnothing$ за $i \neq j$ и $\sum_{j=1}^{m} G_j =\Omega$ и $y_j = P(G_j) = P(Y = y_j)$. Означаваме $Z = X+Y$ и нека $Z$ има стойности $\{Z_i\}_{i=1}^{mn}$, като $Z_i \to \{x_i+y_j\}_{i=1,j=1}^{m.n}$, то стойностите на $z_i$ се заемат върху $\{H_iG_j\}$. Тогава $E[z] = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(x_i+y_j)P(H_iG_j) = \star$

II непрексънат случай. Случайната величина $X$ е непрекъсната ако $\exists$ Плътност $f_\xi(x) : F_{\xi}(x) = P(X \leq x_k)$ т.е.

1. $F_{xi}'(x) = f_xi(x)$
2. $f_{\xi}(x) \geq 0$ за $\forall x$
3. $\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x)dx = 1$

$\star = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} x_i P(H_iG_j) + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} y_i P(H_iG_i) =$
$= \sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{j=1}^{m} P(H_iG_j) + \sum_{j=m}^{n}y_i\sum_{i=1}^{n}P(H_iG_j) =$
$=\sum_{i=1}^{n} x_i P(\sum_{j=1}^{m} H_i G_j) + \sum_{j=1}^{m} y_i P(\sum_{i=1}^{n} H_i G_j) =$

$=\sum_{i=1}^{n} x_i P(H_i\sum_{j=1}^{m} G_j) + \sum_{j=1}^{m} y_i P( G_j\sum_{i=1}^{n} H_i) =$

$=\sum_{i=1}^{n} x_i P(H_i \Omega) + \sum_{j=1}^{m} y_i P( G_j\Omega) =$

$=\sum_{i=1}^{n} x_i P(H_i) + \sum_{j=1}^{m} y_i P( G_j) = EX + EY$

Дефиниция: МО на случайна величина

Математическо очакване на случайна величина $X$ наричаме числото $E[X] =\int_{-\infty}^{\infty} x d F_{\xi}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{\xi} (x) d x$

За дискретния и непрексунат случай изразяваме съотвено
$EX = E[X] = \int_{\Omega} X(\omega) d P(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x) dx$ - непрексънат случай
$EX = E[X] = \int_{\Omega} X(\omega) d P(\omega) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k P(X = x_k)$ - дискретен случай

Дефиниция: Дисперсия на случайна величина

Дисперсия на случайна величина $X$ наричаме числото $D X = D[X] = E[X-EX]^2$

Дефиниция: Стандартно отклонение

Числото $\sigma[x] = \sqrt{D[X]}$ наричаме стандартно отклонение на случайна величина $X$

Свойства:
1. $c - const$ :$Dc = E[c-Ec]^2 = E[c-c]^2 = E0^2 = 0$

2. $D[X] = EX^2 - [EX]^2$
Доказателство:
от деф. $D[X] = E[X - EX]^2 = E[X^2 - 2XEX [EX]^2] = E[X^2]-2E[X]E[X] + [EX]^2 = E[X]^2 - [E[X]]^2$

3. $D(cX) = c^2D[X]$
Доказателство:
$D(cX) = E[(cX)]^2 - [E(cX)]^2 = E(c^2X^2) - (cEX)^2 = c^2EX^2 - c^2(EX)^2 = c^2(EX^2 - (EX)^2) = c^2DX$

4. Ако случайните величини $X$ и $Y$ са независими, то $D(X+Y) = D(X)+D(Y)$

5. $DX \geq 0$ винаги