Тема 8

Теореми на Моавър-Лаплас. Теорема на Бернули. Доверителен интервал за вероятност.

страницата не е преглеждана! сигурно е пълна с грешки

Теорема: локална теорема на Моавар-Лаплас

Локалната теорема на Моавър-Лаплас ни дава нормална апроксимация на Биномно резпределение с параметър $n$ и $p$ т.е. на $Bi(n,p)$
Като се има предвид - нормална апроксимация, в смисъла на нормално разпределение.

$\nu_n$ - брой успехи в $n$ бернулиеви опита.
В схема на бернули означаваме $\sigma_n = \sqrt{npq}$. Нека $\sigma_n \underset{{n \to \infty}}{\to} \infty$ тогава за $\forall c > 0$ равномерно по всички $|x| \leq c$ от вида $x = \frac{k-np}{\sigma}$, където $k$ е цяло число е в сила
$P(\dfrac{\nu_n-np}{\sqrt{npq}} = x ) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2}}(1+ O(1))$

Доказателство:
Нека $k = np + \sigma x$. Тогава $P(\nu_n = k) = P(\nu_n = np+\sigma x ) = P( \frac{\nu_n - np}{\sigma}) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}$
$\log P(\nu_n = k) = \log n! - \log k! - \log (n-k)! + n\log p + (n-k) \log q$
при $n\to \infty$ то по Стирлинг
$\log n ! = n log n + \log \sqrt{2n\pi} + n -a_n$,
където $a_n = 0(\frac{1}{n})$. Да означим $m = n-k = nq - \sigma x$, тъй като
$k = np(1+ \frac{q x}{\sigma}) \to \infty$ и $m = nq (1 - \frac{px}{\sigma}) \to \infty$
следователно
$\log P(\nu_n = k) = n \log n - k\log k - m\log m+ k\log p + m\log q + \frac{1}{2} \log \frac{n}{2\pi km} + \beta_n$, където $\beta_n = a_n - a_k - a_m = O(i)$

Тъй като $log(1+z) = O(z)$ при $z \to \infty$ то
$\log \frac{n}{km} = \log \frac{1}{\sigma^2} + O(\frac{1}{\sigma}) \Rightarrow$
$\log P(\nu_n = k) = -k \log \frac{k}{np} - m \log \frac{m}{nq} + \log \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} + O(\frac{1}{\sigma}) =$
$= -(np+\sigma x) log(1+ \frac{xq}{\sigma}) - (nq-\sigma x) - (nq-\sigma x)log (1 + \frac{x p}{\sigma}) + \log \frac{1}{\sqrt{w\pi\sigma^2}} + O(\frac{1}{\sigma})$
като имаме предвид, че $\log(1\pm z) = \pm z - \frac{z^2}{2} + O(z^3)$ при $z \to \infty$ то

$\log P(\nu_n= k) = -(np + x \sigma)(\frac{x q}{\sigma} - \frac{x^2 q^2}{2 \sigma^2} + O(\frac{1}{\sigma^3}) ) -$
$- (nq- x\sigma)(-\frac{xp}{\sigma} + \frac{x^2 p^2}{2\sigma^2} + O(\frac{1}{\sigma^3})) + \log \frac{1}{\sqrt{w\pi\sigma^2}} + O(\frac{1}{\sigma}) =$
$= -\frac{x^2}{2} + \log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} + O(\frac{1}{\sigma})$
което доказва теоремата

Дефиниция: Стандартно/нормално разпределение

$\xi \in N(0,1)$ наричаме стандартно или нормално разпределение(може и гаусово разпределение), ако плътността на случайната величина
$f_\xi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} , x \in \mathbb{R}$
$F_{\xi} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} d t$ - стандартна функция на разпределение.

$\eta \in N(\mu, \sigma^2), -\infty < \mu < \infty, \sigma^2 > 0$ ако $f_\eta(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ и можем да преобразуваме към нормално разпределение $\xi = \frac{\eta - \mu}{\sigma} \in N(0,1)$

Интегрална теорема на Моавър-Лаплас

Прр $\sigma = \sqrt{npq} \to \infty$ равномерно по $-\infty < a < b <\infty$ е изпълнено
$P(a \leq \dfrac{\nu_n - np}{\sqrt{npq}} \leq b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{x^2}{2}} dx$

Доказателство:

Нека $[x]$ е най-голямото цяло число, за което $[x] \leq x$, а $]x[$ е най-малкото цяло число, за което $x \leq ]x[$.

$P(a \leq \dfrac{\nu_n-np}{\sqrt{npq}} \leq b) = P(np + a\sqrt{npq} \leq \nu_n \leq \sqrt{npq}b + np) =$
Разглеждаме $P(l_1 \leq \nu_n \leq l_2)$, където
$l1 = ]a\sqrt{npq}+np[$ - цялата част + 1
$l2 = [b\sqrt{npq}+np]$ - цялата част

$\Rightarrow P(l_1 \leq \nu_n \leq l_2) = \sum_{k=l_1}^{l_2} P(\nu_n = k) = \sum_{a \leq x_k \leq b} P(\frac{\nu_n - np}{\sqrt{npq}})$
където $x_k = \frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ тогава онзачаваме $\Delta x_k = x_{k+1}-x_k = \frac{1}{\sigma}$

Прилагайки първата теорема то

$P(a \leq \dfrac{\nu_n-np}{\sqrt{npq}} \leq b) = \sum_{a \leq x \leq b} \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x_k^2}{2}} \Delta x_k(1+O(\frac{1}{\sigma})) =$
$= \frac{1}{2\pi} \sum_{a \leq x \leq b} e^{-\frac{x_k^2}{2}}\Delta x_k(1+O(\frac{1}{\sigma})) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-\frac{x^2}{2}} dx$

Теорема на Бернули

За всяко $\varepsilon > 0$ имаме
$\lim_{n \to \infty} P(|\frac{\nu_n}{n} - p| > \varepsilon) = 0$.
$\frac{\nu_n}{n}$ наричаме честота на събитието

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License