Тема 7

Схема на Бернули. Биномно, геометрично, хипергеометрично и поасоново разпределения. Теорема на Поасон.

страницата е малко прегледана

Дефиниция: Бернулиева случайна величина

Нека разгледаме експеримент, на който съпоставяме при успех $1$, при неуспех $0$ т.е. $\omega = {0,1}$ и $P(1) = p, P(0) = 1-p = q$, като $p+ q =1$
така имаме следната таблица

$\xi$ $0$ $1$
$p_\xi$ $1-p$ $p$

Случайна величина, която отговаря на описания опит(или таблица) се нарича Бернулиева случайна величина. Бележим с $Be(p)$.

Пиложение на бернулиевата случайна величина

Нека сега направим независими Бернулиеви опити т.е.
$\Omega_i = \{0,1\} , i =1..n$
$\mathfrak{F}_i = \{\Omega,\varnothing,\{1\},\{0\}\}$
$P(\{1\}) = p = p(\omega_i) = p_i$
$\omega = \omega_1 \times \omega_2 \times ... \times \omega_n = \{ \omega : (\omega_1,\omega_2,...,\omega_n), \omega_i = \{0,1\}\}$
$\mathfrak{F} = \mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2 \times ... \times \mathfrak{F}_n$

$P(\omega) = \prod_{i=1}^{n} P(\omega_i) = \prod_{i=1}^{n} p^{\omega_i}(1-p)^{1-\omega_i}$

Означаваме $\nu_n = \omega_1 + \omega_2 + ... + \omega_n =$ броя на успехите в $n$ опита. Означаваме $B_k = \{\omega : \nu_n = k\} = \{ \#$ успехи в $n$ опита е точно $k$ $\}$.

$\#(B_k)$ - броя елементи в събитието $B_k$
$P(B_k) = \#(B_k)p^{k}q^{n-k} = \binom{n}{k}p^k q^{n-k}$

Дефиниция : Биномно разпределение

Случайна величина $\xi : P(\xi = k) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}, p+q = 1$ и $0 \leq p,q \leq 1$ се нарича Биномно разпределена случайна величина, бележим с $Bi(n,p)$

Връзка между ниютонов бином и биномно разпределение

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^k b^{n-k}$. - Нютонов бином

$\sum_{k=0}^{n} p(\xi = k) = 1 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^{k}q^{n-k} = (p+ q)^n = 1$ - як номер да покажем, че нещо е равно на 1

Дефиниция: схема на Бернули

Схема на Бернули наричаме редица от $n$ независими опита, при което:

  1. възможните изходи от експеримента са в така наречени условно успех и неуспех
  2. $P(\{$ успех $\}) = p - const, 0 \leq p,q \leq 1, q = 1 - p$

Извеждане на геометрично разпределение

$\xi \in Bi(n,p) = P(\xi < i) = \sum_{k=0}^{i} \binom{n}{k} p^{k}q^{n-k} = F_{\xi}(i)$ - не повече от $i$ успеха в схема на Бернули.

$P(\xi \geq i) = 1 - P(\xi < i)$
$\dfrac{P(\xi = k)}{P(\xi = k -1)} = \dfrac{ \binom{n}{k} p^kq^{n-k}}{\binom{n}{k-1}p^{k-1}q^{n-k+1}} =...= \dfrac{n-k+1}{k}\dfrac{p}{q}$

$\Rightarrow P(\xi = k) \geq P(\xi = k -1) \iff \dfrac{n-k+1}{k}\dfrac{p}{q} \geq 1$
$\iff k \leq (n+1) p$

Следствие:

$P(\xi = k+1) = \dfrac{p}{q} \dfrac{n-(k+1)+1}{n+1} P(\xi = k)$
и така
$P( \xi = 0) = q^n$
$P( \xi = 1) = \dfrac{n}{q}p P(\xi = 1) = \dfrac{n}{q}p q^n = n p q^{n-1}$

Нека сега имаме безкраен брой опита и означим $\eta$ - броя на неуспехите до първия успех в безкрайна редица от бернулиеви опити

$P(\eta = 0) = p$
$P(\eta = 1) = qp$
$P(\eta = 2) = q^2p$
….
$P(\eta = n) = q^np$

и така получаваме $\sum_{k=0}^{\infty} p q^k = p \sum_{k=0}^{\infty} q^k = p \frac{1}{1-q} = p\frac{1}{1-(1-p)} = 1$
това е вероятностно разпределение

Дефиниция: Геометрично разпределение

случайна величина - $\eta$ - броя на неуспехите до първия успех в безкрайна редица от Бернулиеви опити с вероятност за успех $p$, наричаме геометрично разпределена случайна величина. Бележим с $Ge(p)$ и $P(\eta = k) = q^kp, k = 0,1,...$

Дефиниция: Поасоново разпределение

Случайна величина $\xi$ с разпределение $P(\xi = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} , k = 0,1,...$ се нарича поасоново разпределение и Бележим $Po(\lambda), \lambda > 0$
Ще проверим, че $Po(\lambda)$ е вероятностно разпределение

$\sum_{k=0}^{\infty} P(\xi = k) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1$

Тероема на поасон

Поасоновото разпределение клони към биномното(и се смята по-лесно) за много големи опити(схеми на Бернули).
Ако $n \to \infty$ и $p \to 0 : np = \lambda > 0$ в схема на Бернули, то
$\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} \to P_0(\lambda) = \dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$
за $\forall k$ фиксирано, $k = 0,1,...$

Доказателство:

$\binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}.p^{k}(1-p)^{n-k} =$
$= \dfrac{ n^k(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!} p^k(1-p)^{n-k} =$
сега полагаме $\lambda = np$
$= \dfrac{\lambda^k(1- \frac{pn}{n})^{n-k}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!} =$
$n$ клони към безкрайност, следователно
$= \dfrac{\lambda^k(1- \frac{pn}{n})^{n-k}}{k!} = \dfrac{\lambda^k(1- \frac{pn}{n})^{n}}{k!(1- \frac{pn}{n})^{k}} =$
знаменателя клони към $k!$
$\dfrac{\lambda^k(1- \frac{pn}{n})^{n}}{k!} = \lim_{n \to\infty} \dfrac{\lambda^k(1- \frac{pn}{n})^{n}}{k!} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

Смисъл на поасоново разпределение

Разпределението на Поасон $P_\lambda(n,T)$ , дава вероятността за наблюдаване на n дискретни събития за интервал от време T, когато средният брой събития за единица време е λ, предполагайки тези събития са независими.

$P_\lambda(n,T) = \mathrm{e}^{-\lambda T}\frac{(\lambda T) ^n}{n!}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License