Тема 6

Функция на разпределение.

Дефиниция: функция на разпределение на случайна величина

Фунция на разпределение на случайна величина $\xi$ наричаме $F_{\xi} = P(\{ \omega : \xi(\omega) \leq x\})$

Свойства : функция на разпределение на случайна величина

1. $x_1 < x_2$ тогава $F_{\xi}(x_1) \leq F_{\xi}(x_2)$ - функцията на разпределение е монотонно растяща

2. $\lim_{x\to \infty} F_\xi(x) = 1, \lim_{x\to -\infty} F_\xi(x) = 0$

Доказателство:
$\Omega = \{\omega : \xi(\omega) < \infty \}$
Тогава
$F_{\xi}(+\infty) = P(\xi < +\infty) = P(\Omega) = 1$
$\Omega = \sum_{k = -\infty}^{\infty} A_k, A_k = \{ \omega : k-1 \leq \xi(\omega) < k \}$

Тогава
$1 = P(\Omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} P(A_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1-n}^{n} P(A_k) =$
$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1-n}^{n}(F_{\xi}(k)-F_{\xi}(k-1)) = \lim_{n \to \infty}(F_{\xi}(n) - F_{\xi}(-n)) =$
$= \lim_{n \to \infty} F(n) - \lim_{n \to \infty}F_{\xi}(-n) = 1 - \lim_{n \to \infty} F_{\xi}(-n)$
$\Rightarrow \lim_{n \to \infty} F(-n) = \lim_{n \to -\infty} F(n) = 0$

3. Функцията на разпределение $F_{\xi}(x)$ е непрекъсната отдясно(отляво) ако сме дефинирали $F_{\xi}(x) = P(\xi < x)$ т.е. ако $x_n \to x_0$, $x_n > x_0$ то $F_{\xi}(x_n) \to F_{\xi}(x_0)$.
$\lim_{x_n \to x_0} F_{\xi}(x_n) = f_{\xi}(x_0)$

Доказателство:

от $x_n \downarrow x_0$ то $\{\omega : \xi(\omega) \le x_n \} \downarrow \{\omega : \xi(\omega)\leq x_0 \}$

Следствие:
$P(a\leq \xi \leq b) = F_{\xi}(b) - F_{\xi}(a)$

Доказателство:
Да разгледаме събитието $\{ \xi \leq b\}$ то се представя като $\{ \xi \leq b \} = \{\xi \leq a \} \cup \{ a < \xi \leq b\}$
$\Rightarrow P(\{ \xi \leq b\}) = P(\{ \xi \leq a \}) + P(\{ a < \xi \leq b \})$

Дефиниция: дискретна случайна величина

Случайна величина, която има най-много изброим брой сойности се нарича дискретна случайна величина

$\xi$ $\xi_1$ $\xi_2$ $...$ $\xi_n$ $....$
$P_i = P(\xi = \xi_i)$ $p_1$ $p_2$ $...$ $p_n$ $....$

като

  1. $0 \leq p_i \leq 1$
  2. $\sum p_i = 1$

то $F_{\xi}(x) = P(\{ \xi \leq x \}) = \sum_{x_i < x} p_i$

тогава
$F_{\xi}(x) = \begin{cases} 0, x < \xi_1 \\ p_1, \xi_1 \leq x \leq \xi_2 \\ p_1 + p_2, \xi_2 \leq x \leq \xi_3 \\ .... \end{cases}$

Пример

направи си сам.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License