Тема 5

Случайни величини и разпределения - дискретни и непрекъснати.

Нека $\Omega = \mathbb{R}$ - реалната права т.е. изходите от експеримента са числови.
Какво ще представлява тук $\sigma$-алгебрата? Ще означим $\mathfrak{F}$ с $\mathfrak{B}$ - Борелова $\sigma$ - алгебра върху $\mathbb{R}$.

Пример хвърляме 3 правилни монети с $\xi$ бележим броя езита, който се падат. Тогава $\xi = 0,1,2,3$.
$P(\xi = 0) = \frac{1}{8}$, $P(\xi = 1) = \frac{3}{8}$,$P(\xi = 2) = \frac{3}{8}$, $P(\xi = 3) = \frac{1}{8}$

1. Нека $A \in \mathfrak{F}$ е събитие. Нека
$\xi = \begin{cases} 1, \omega \in A \\ 0, \omega \notin A \end{cases}$
т.е.
$\xi = II_{A}(\omega)$ - $\xi$ е индикатор на събитието $A$. Това е най-простия вид случайна величина.

2. Да разгледаме $\Omega = \sum_{i=1}^{n} H_i, H_i$- непресичащи се събития т.е. $H_i H_j = \varnothing$ за $i \neq j$.
Нека $\xi$ е функция, $\xi : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ и е такава, че $\xi(w_i) = \xi_i, \omega \in H_i, i=1..n$
т.е. $\xi(\Omega) = \sum_{i=1}^{n} x_i. II_{H_i}(w_i)$, за $\forall \omega_i \in \Omega$

Функцията $\sigma$ се нарича проста(елементарна) случайна величина $\xi$ заема краен брой стойности, $\xi = x_1,...,x_n$

$P(\xi = x_i) = P(H_i) = p_i$за $i=1,...,n$

Тогава всяка проста случайна се дава като таблица

$\xi$ $x_1$ $x_2$ $x_n$
$P$ $p_1$ $p_1$ $p_n$

Простите случайни величини съответстват на всички крайни разбивания на $\Omega$

Дефиниция: Случайна величина

Случайна величина наричаме всякя функция $\xi : \Omega \to \mathbb{R}$, такава че за произволно реално $x (\forall x \in \mathbb{R})$, множеството $\{ \omega: \xi(\omega) \le x \} \in \mathfrak{F}$, т.е. множеството е събитие

Дефиниция: Непрекъсната случайна величина

$\xi$ наричаме непрекъсната случайна величина, ако $\exists$ непрекъсната функция $f(x) : f(x) \geq 0$ и такава, че фунцкията на разпределение $F_{\xi} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt$ и наричаме $f(x)$ - вероятностна плътност на случайна величина $\xi$
t3_h.12.gif
$P(\{x_{1} \leq \xi \leq x_2 \}) = \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt, \xi$ - непрекъсната величина и $\int_{x_1}^{x_2} F_{\xi}(t)dt = \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt$

Всяка функция $f(x)$ такава, че

  1. $f(x) \geq 0, x \in \mathbb{R}$
  2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$, може да се представи като функция на плътност

Дефиниция: sup и inf от случайна величина

Нека $\xi_n$ е редица от случайни величини. Тогава

$\{ \sup \xi_n < x \} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \{\omega : \xi(\omega) < x \} \in \mathfrak{F}$
$\{ \inf \xi_n < x \} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{\omega : \xi(\omega) < x \} \in \mathfrak{F}$

т.е. горната и долната граница на редици от случайни велични са случайни величини

Дефиниция: точна граница на редица

$\overline{\xi} = \lim \sup \xi_n = \inf_{n \geq 1}(\sup_{m \geq n} \xi_m)$
респективно долната е
$\underline{\xi} = \lim \inf \xi_n = \sup_{n \geq 1}(\inf_{m \geq n} \xi_m)$

ще го обясня като го разбера

Дефиниция: сходяща редица от случайни величини

Казваме, че редицата $\xi_n$ е сходяща към случайната величина $\xi$(или сходяща поточково) ако точната горна граница съвпада с точната долна граница т.е.
$\lim_{n \to \infty} \sup \xi_n = \lim_{n \to \infty} \inf \xi_n = \xi$, или $\lim_{n\to\infty} \xi_n = \xi$

Теорема за представяне на случайна величина

Класът на случайните величина $\sigma$ дефиниран в $(\Omega, F, P)$ съвпада с класа на всички измерими функции в това пространство, съдържащ елементарните случайни величини и затворен относно поточковата сходимост, казано по друг начин всяка случайна величина, може да бъде представяна като граница на редица от елементарни случайни величини.

ЛГВ

За да разглеждаме и изучаваме случайни величини въведохме функция на разпределение. На всяка случайна величина съответства точно една функция на разпределение но обратното не е вярно.

Пример: Нека $\xi$ и $\mu$ - случайни величини, като за $\omega \in [0,1]$ имаме $\xi(\omega) = \omega$ и $\mu(\omega) = 1-\omega$ следователно $\xi \neq \mu$

Операторът $\lambda$ дава дължина на интервал.
$F_{\xi}(x) = P(\{\xi \leq x\}) = P(\{ \omega : \omega \leq x \}) = \lambda([0,x]) = x$
$F_{\mu}(x) = P(\{\mu \leq x\}) = P(\{1-\omega < x\})$$= P(\{ \omega : 1 - \omega \leq x \}) = 1 - P(\omega < 1 - x)$$= 1 - \lambda([0,1-x]) = 1 - (1 - x) =x$
и така $F_{xi}(x) = F_{\mu}(x)$

Дефиниция: сингуляран случайна величина

Казваме, че случайната величина $\xi$ е сингулярна, ако $\exists$ функция $f_{\xi}(x) \geq 0 : f_{\xi}(x)$ е непрекъсната, но не е диференцируема

Пример:
$F(x) = \begin{cases} 0, x \leq 0 \\ F(\frac{3}{2} x), 0 \leq x \leq \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} + F(\frac{3x-2}{2}), \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \\1, x \geq 1 \end{cases}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License