Произведение на вероятностни пространства.
МОЖЕ БИ ТРЯБВА ДА СЕ ДОКАЖЕ И ОБЕДИНЕНИЕТО НА ТЕОРЕМАТА?
И МАЛКО ОБЯСНЕНИЕ ЗА СМИСЪЛА НА ДЕФИНИЦИЯТА И ТЕОРЕМАТА
Дефиниция: произведение на вероятностни пространстава
Правим $n$ независими опита за даден за даден експеримент. Нека $n=2$. Нека $(\Omega_1,\mathfrak{F_1},P_1)$ е пространството, което сме съпоставили на експеримента за първия опит. Нека $(\Omega_2, \mathfrak{F_2},P_2)$ е пространството за вотория опит. Тогава какво пространство да съпоставим, ако двата опита гледаме като на един?
Означаваме $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 = \{ (\omega_1,\omega_2) | \omega_1 \in \Omega_1, \omega_2 \in \Omega_2 \}$. Означаваме с $\Pi$ множеството от всички правоъгълници в $\Omega$, като ако $A_1 \in \mathfrak{F}_1$ и $A_2 \in \mathfrak{F}_2$, то $A_1 \times A_2$ наричаме правоъгълник в $\mathfrak{F} = \mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2$. Ще дeфинираме новата вероятност в $\Omega$ като $P(A_1\times A_2) = P_1(A_1)P_2(A_2)$
Дефиниция : Булева алгебра
Булева алгебра е множество S с дефинирани функции Λ(конюнкция И), V (дизюнкция ИЛИ) и ¬ (отрицание НЕ).
Теорема за произведение на вероятностни пространстава
Множеството $\mathfrak{F}$ от всички крайни суми на непресичащи се правоъгълници е булева алгебра
Доказателство:
1. $\Omega \in \mathfrak{F}$
$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$
$\varnothing = \varnothing \times \varnothing$
2. Нека $A_1 \in \mathfrak{F}$, тогава и $\bar{A_1} \in \mathfrak{F}$
$A \in \mathfrak{F}_1, B \in \mathfrak{F}_2$
$\bar{A_1} = \overline{A \times B} = \bar{A}\times B + A \times \bar{B} + \bar{A} \times \bar {B} \in \mathfrak{F}$ - всяко от тези събираеми е множетво което принадлежи на $\mathfrak{F}$, следователно $\bar{A_1} \in \mathfrak{F}$. И съответно
$P(\bar{A_1}) = P( \bar{A}\times B) + P(A \times \bar{B}) + P(\bar{A} \times \bar {B})$
3. Нека $A, B \in \mathfrak{F}$ то искаме да покажем, че $A \cap B \in \mathfrak{F}$.
$A = A^1 \times A^2$ и $B = B^1 \times B^2$, като $A_1,B_1 \in \mathfrak{F}_1$ и $A_2,B_2 \in \mathfrak{F}_2$ и $A^1 \cap A^2 = \varnothing, B^1 \cap B^2 = \varnothing$ така получаваме
$A \cap B = A^1 \times A^2 \cap B^1 \times B^2 = A^1 \cap B^1 \times A^2 \cap B^2$
но $A^1 \cap B^1 \in \mathfrak{F}_1$ и $A^2 \cap B^2 \in \mathfrak{F}_2$
тогава $A^1 \cap B^1 \times A^2 \cap B^2 = C^1 \times C^2 = C \in \mathfrak{F}$