Тема 3

Независимост и условна вероятност. Формула за пълна вероятност. Теорема на Бейс и формула за вероятност на произведение от събития.

Условна вероятност

Нека $P(B) > 0$ и събитието $B$ е настъпило. Тогава каква е вероятността да настъпи събитието $A$ ако $B$ се е случило? Математически, тази вероятност бележим с $P(A|B)$ и
$P(A|B) = \dfrac{\#(AB)}{\#(B)} = \dfrac{\frac{\#(A,B)}{n}}{\frac{\#(B)}{n}} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
където $\#(\Omega) = n$, операторът $\#$ дава броя на елементите в множеството.
$P(A|B)$ е вероятност, тъй като

  1. $P(A|B) > 0$
  2. $P(\Omega|B) = 1$
  3. $P(A_1 \cup A_2 | B) =$

$= \dfrac{P((A_1 \cup A_2) \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1}{P(B)}P((A_1 \cap B)\cup (A_2 \cap B)) =$
$= \dfrac{1}{P(B)}(P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) ) = \dfrac{P(A_1 \cap B)}{P(B)}) + \dfrac{ P(A_2 \cap B)}{P(B)} =$
$= P(A_1 | B) + P(A_2| B)$

Следствия условна вероятност

$P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$
$P(A \cap B \cap C) = P(A| B \cap C)P(B \cap C) = P(A | B \cap C)P(B | C)P(C)$
$P(\cap_{i=1}^{k} A_i) = \prod_{i=1}^{k} P(A_i | A_1 \cap A_2 \cap..\cap A_{i-1})$

Формула за пълна вероятност

На кратко пълна вероятност е вероятността да се случи събитието $A$ без условия. Формулата ни дава начин да пресметнем това, ако знаем всички условнии вероятности на събитието $A$.

Нека имаме група събития $\Omega = \cup_{i=1}^{k} A_i, \ A_i\cap A_j = \varnothing$ за $i \neq j$. Такива системи от събития $A_1,..,A_k$ наричаме разбиване или сиситема от непресичащи се събития
$P(B) = P(B \cap \Omega) = P(B \cap (A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k)) =$
$= P((A_1 \cap B)\cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_k \cap B)) =$
$= P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + .. + P(A_k \cap B) =$
$P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_k)P(A_k) = \sum_{i=1}^{k} P(B|A_i)P(A_i)$

Формула на Бейс

Нека имаме системата от събития $A_1,...,A_k$ - разбиване на $\Omega$. $A_1,...,A_n$ наричаме хипотези.

Да разгелдаме събитията $A_i$ и $B$. $P(B) > 0$
$P(A_i | B) P(B) = P(A_i \cap B)$ и $P(B | A_i) P(A_i) = P(A_i \cap B)$ тогава
$P(A_i | B) = P(B | A_i). \dfrac{P(A_i)}{P(B)}$
$P(A_i|B) = \dfrac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} = \dfrac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{k} P(B|A_j)P(A_j)}, \ i =1..n$

Дефиниция: Априорна вероятност

Априрона вероятност - $P(A_i)$, където $A_i$ е настъпил.

Дефиниция: Апостериорна вероятност

Апостериорна вероятност - $P(A_i|B)$където $B$ е настъпил и $A_i$ е с вероятност $= P(A_i | B)$

Дефениция: Независимост

Казваме, че събитията $A,B \in \mathfrak{F}$ са независимми $A \perp B$ ако вероятността $P(A \cap B) = P(AB) = P(A)P(B)$
или
Нека $P(A) > 0$. Тогава $A \perp B$ ако $P(B|A) = P(B)$, тъй като
$P(B|A) = \dfrac{P(B\cap A)}{P(A)} = \dfrac{P(AB)}{P(A)} = \dfrac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B)$

Свойствo:
Ако $A \perp B$, то $A \perp B^{c}$
Доказателство:
$A = AB\cup AB^c$ тогава $P(A) = P(AB\cup AB^c) = P(AB)+P(AB^c)$ очевидно е, че $AB$ и $AB^c$ са несъвместимми
и така $P(AB^c) = P(A)- P(AB) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)(1-P(B)) = P(A)P(B^c)$

Забележка:
Ако $A \perp B$ и $A \perp C$ не следва, че $A \perp BC$

Пример:
Събитията са съответно:
Хвърляме 2 зара. Събитие $A$ - пада се сума 7. Събитие $B$ - на първото зарче се пада 4. Събитие $C$ - на 2-то зарче се пада 4.

Дефиниция: Независими в съвкупност

Нека имаме събитията $A,B,C \in \mathfrak{F}$. Те са независими в съвкупност (за кратко независими) ако

  • P(AB) = P(A)P(B)
  • P(AC) = P(A)P(C)
  • P(BC) = P(B)P(C)
  • P(ABC) = P(A)P(B)P(C)

Свойства: Независими в съвкупност

Ако $A, B$ и $C$ - независими, то $A$ е независимо от произволни събития получени от $B$ и $C$ т.е.
$A \perp B \cup C, A \perp BC, A \perp B^cC, ....$

Доказателство:
$P(A\cap(B\cup C)) = P(AB \cup AC) = P(AB) + P(AC) - P(ABC) =$
$= P(A)P(B)+P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A)[P(B)+P(C) - P(B)P(C)$]$= P(A)P(B\cup C)$

Дефиниция на независимост в съвкупност в общия случай

Нека $A_1,...,A_n \in \mathfrak{F}$. Нека $n > 2$ тогава дефинираме
I. Независимост в съвкупност ако $\forall r \leq n$ и за $\forall$ набор $A_{i1},....,A_{ir} \in \mathfrak{F}$ е изпълнено, че $P(A_{i1}\cap...\cap A_{ir}) = \prod_{j=1}^{r} P(A_{ij})$
II. Независимост $P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j), i \neq j$ ако е изпълнено $I$ е изпълнено и $II$, но от $II$ не следва $I$.

Пример:
Фвърляме правилен тетраедър, чийто страни са Бяла, зелена, червена и цветна(от бяло, зелено и червено). Разглеждаме събитията:
$A$ пада се стена, която съдържа бял цвят
$B$ - пада се стена с червен цвят
$C$ - пада се стена с зелен цвят
$P(ABC) \neq P(A)P(B)P(C)$

Независимост на сигма алгебрата

Имаме $\mathfrak{F_1},....,\mathfrak{F_n},... \subseteq \mathfrak{F}$. Тогава казваме, че $\{\mathfrak{F_n}\}_{n=1}^{\infty}$ е независимо в съвкупност, ако за произволно крайно подмножество от $\sigma$-алгебри $\mathfrak{F_1},....,\mathfrak{F_k}$ и произволни събития $A_i \in \mathfrak{F_i}, i = 1..k$ е изпълнено $P(\cap_{i=1}^{k}A_i) = \prod_{i=1}^{k}P(A_i)$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License