Prob21

Тука сложи заглавие

  • Нека $\chi_n$ е извадково пространство, $\vec{\xi} = (\xi_1, xi_2,..., \xi_n)$ са стойности на наблюденията и $\theta$ е неизвестен параметър
  • Хипотеза означава $H_0 : \theta = \theta_0 , \theta \in \Theta$ и се нарича основна хипотеза
  • $H_A : \theta = \theta_1$ - алтернативна хипотеза и $\theta_1 \neq \theta_0$
  • Когато на $H_0$ съответства точно едно разпределение $L_0(x)$ се говори за проста основна хипотеза, когато $H_0$ не се удовлетворява от едно единствено разпределение говорим за сложна основна хипотеза
  • Ниво на доверие $\alpha$ се нарича вероятността, наблюдаваната стойност на тази статистика да попадне в критичната област. $P(H_0$ се отхвърля $| H_0 $ ]] е вярна [[$)$
  • Вероятността стойността на наблюдаваниата статистика да не попадне в критична област, въпреки че $H_0$ не е вярна се бележи с $\beta = P( H_0$ не се отхвърля $| H_A$ е вярна $)$
  • Критична област $\omega \leq X^n$ е област, в която ако попадне стойността на наблюдаваните то отхвърляме $H_0$. $\bar{\omega}$ - област на приемане

Дефиниция: Грешка от I-ви род

Грешка, която правим когато отхърляме нулевата хипотеза $H_0$, а тя е вярна

Дефиниция: Грешка от II-ви род

Грешка която правим когато приемаме $H_0$, а тя не е вярна

$H_0$ е вярна $H_0$ не е вярна
отхвърля се $H_0$ грешка от I-ви род вярното решение
не се отхвърля $H_0$ вярното решение грешка от II-ри род

Дефиниция Мощ на критерии

$P(H_0$ се отхвърля $| H_1$ е вярна $) = \pi$. Бележим с $\pi$ мощта на критерия. Нарича се още мощ на теста. Очевидно се допълва до 1 с вероятността за грешка от 2 род.

Не можем едновременно да минимизираме и $2$-те грешки, По страшна е тази от I-ви род. Първо я минимизираме, след това тази от 2-ри род
<картинка >

Лема на Нейман-Пирсън

При проверка на псота хипотеза
$H_0 : L(x) = L_0(x)$ срещу проста алтернатива
$H_1 : L(x) = L_1(x)$ с ниво на съгласие $\alpha$, ако критичната област $\omega *$ е такава, че за някоя константа $k = k_x > 0$ са изпълнени неравенствата:
$L_1 \geq k L_0 (x)$ за $\forall x = (x_1,....,x_n) \in \omega*$
$L_2 \leq k L_0 (x)$ за $\forall x = (x_1,....,x_n) \notin \omega*$

то $\omega*$ е оптимална критична област т.е. $\omega*$ е критична област, такава че да е изпълнено
$P\{\vec{\xi} \in \omega* | H_0 \} = \alpha$

Доказателство:

Нека $M_\alpha$ - областа от всички критични области , за които вероятността за грешка от I-ви род е $\alpha$ тогава $\omega* \in M_\alpha$. Нека $\omega \in M_\alpha$ и $C = \omega \cap \omega* , A = \omega* \setminus C$ и $B = \omega \setminus C$

картинка

Понеже $\omega$ и $\omega* \in M_\alpha$ имаме
$\alpha = \int_{\omega*} L_0(x) dx = \int_{c} L_0(x) dx + \int_{A} L_0(x) dx$
$\alpha = \int_{\omega} L_0(x) dx = \int_{c} L_0(x) dx + \int_{B} L_0(x) dx$
от където намираме, че
$\int_{B} L_0(x) dx = \int_{A} L_0(x) dx$
Нека разгледаме

$\delta = \int_{\omega*} L_1(x) dx - \int_{\omega} L_1(x) dx = (\int_{A} + \int_{c}) L_1(x) dx - (\int_{x} + \int_{B}) L_1(x) =$
$= \int_{A} L_1(x) dx - \int_{B} L_1(x) dx$

но имаме и

$L_1 \geq kL_0(x)$ за $\forall \vec{x} \in A \subset \omega*$ и
$L_1(x) \leq k L_0(x)$ за $\forall \vec{x} \in B = \omega \setminus \omega*$
$\Rightarrow \delta = \int_{\omega*} L_1(x) dx - \int_{\omega} L_1(x) dx \geq \int_{A} kL_0(x) dx - \int_{B} kL_0(x) dx =$
$= k(\int_{A} L_0(x) dx - \int_{B} L_0(x) dx) \Rightarrow$ получаваме, че $\delta \geq 0$
т.е.
$P\{ \xi \in \omega* | H_1 \} = \int_{\omega} L_1(x) dx \geq \in_{\omega} L_1(x) dx$ което означава, че $\omega*$ е оптимална критична област.
$P\{ \xi \in \omega* | H_1 \}$ - отхвърляме $H_0$ при положение че $H_1$е вярна

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License