Тема 2

Вероятност. Основни свойства. Класическа вероятност. Безкрайно вероятностно пространство. Теорема на Каратеодори.


страницата е пълна с грешки и недообяснени твърдения.
страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Пример от живота

Нека $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n \}$ е крайно пространство от елементарни изходи, и нека всеки изход е еднакво очакван: $P(\omega_1) = P(\omega_2) = \dots = P(\omega_n) = \frac 1 n$. Примери за такива има в изобилие в предната тема. А сега, ще хвърлим едновременно две монети.

Считаме, че двете монети са неразличими. Тогава възможните изходи са $\Omega = \{(0, 0), (0, 1), (1,1)\}$ и всеки от тях има равен шанс да се случи - $\frac 1 3$. Да, ама при множество хвърляния се оказва, че (0, 1) се пада по-често от другите, което ни харесва - разминава се с нашите очаквания и създава потенциал да загубим на залагания.
В търсене на истината, поглеждаме с други очи на света и почваме да различаваме монетите една ог друга. Получаваме пространството $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$, където срещаме две проявления на проблемния елемент. И така виждаме, че първият модел не е грешен (все пак няма други възможни изходи), само е с неправилни тегла - следва да са съответно $\frac 1 4 , \frac 1 2, \frac 1 4$.

Някои добре известни вероятности: Вероятността при хвърляне на две зарчета1 да се падне чифт е $\frac 1 6$. Да се падне сума 6 - $\frac 5 {36}$. 7 - $\frac 1 6$. 8 - отново $\frac 5 {36}$ - имаме максимум в 7.

Дефиниция: Събитие

Имаме експеримент $E$, който може да завърши по $n$ различни начина - $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n \}$
Събите наричаме подмножество на $\Omega$, пример $A = \{ \omega_1, \omega_2 \}$.
Казваме, че събитието се е случило, ако след провеждане на експеримента завършека принадлежи на $A$. В случая е $\omega_1$ или $\omega_2$

Дефиниция: Вероятност

Имаме експеримент $E$, който може да завърши по $n$ различни начина - $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n \}$. Интересува ни ако проведем $E$ каква е вероятността той да завърши в изход $\omega_k$ - $A=\{\omega_k\}$
Вероятността на събитие на това събитие е :
$P(A) = \underset{n \to \infty}{\lim} \dfrac{k}{n}$
където $n$ е броя на всички провеждания на експеримента, а $k$ - броя на провежданията на експеримента завършили с $\omega_k$.

Свойства на вероятността

  • Неторицателност - всяка вероятност е от 0 до 1, като 0 означава напълно невъзможно събитие, 1 - абсолютно сигурно събитие.
  • Нормираност - Вероятноста на достоверно събитие е 1
  • Сигма адитивност - ако имаме безкрайна редица от несъвметими събития $E_1, E_2, E_3,...$ то $P(\sum_{i=1}^{\infty}E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i)$

Алгебра на вероятностите

Имаме експеримент $E$ с възможни изходи $\Omega$
Дефинираме си алгебрата $A$ по следния начин

  • празното множество и пространството от изходи са в него т.е. $\Omega, \emptyset \in A$
  • ако нещо е в $A$ то и отрицанието му е в $A$ т.е. $a \in A \iff \bar{a} \in A$
  • $A$ е затворено относно обединение и сечение т.е. $a,b \in A \Rightarrow a \cup b \in a , a \cap b \in A$

До колкото разбирам, това е една алгебра, която съдържа всяко събитие на експеримента $E$, включително и не много смисленото примерно $a \cup \bar{a}$. Забележете, че дадените условия са условия едно множество да е сигма алгебра, а не дефиниция на сигма алгебра. Тоест за един експеримент имаме много(понякога безкрайно много) сигма алгебри. Ако правилата бяха как се построява сигма алгебра, в сигма алгебрата щяхме да имаме само $\Omega$ и $\emptyset$.

Сигма алгебра

Ако имаме $A$ - алгебра на вероятностите, то $\mathfrak{F} = \sigma(A)$ е сигма алгебра, ако

  1. $\Omega, \emptyset \in \mathfrak{F}$
  2. $A \in \mathfrak{F} \iff \bar{A} \in \mathfrak{F}$
  3. $A_1,...A_n \in \mathfrak{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{F}$

До колкото разбирам, това е алгебра, която построява всички събития на даден експеримент $E$.

Свойства

Ако $A,E,F \in \mathfrak{F}$

  1. $P(A^c) = 1 - P(A)$ т.к. $A^c = \Omega \setminus A$
  2. $E \subset F \Rightarrow P(E) \leq P(F)$ т.к. $F = E + F \setminus E = E+F\bar{E}$ начертайте си диаграмите на вен. бтв : $FE \equiv E \cap F$
  3. $P(E + F) = P(E)+P(F) - P(EF)$ и т.н.т. за 3 и повече

Няколко свойства на класическа вероятност

Нека $\Omega = {\omega_1,...,\omega_n}$ е крайно пространство от елементарни изходи и всеки изход е еднакво очакван т.е. $P(\omega_1) = ..= P(\omega_n) = \frac{1}{n}$
Свойства:

  1. $P(A) \geq 0$
  2. $P(\Omega) = 1$
  3. $P(A + B) = P(A) + P(B)$ ако $A \cap B = \varnothing$

Примери

някой друг път

Безкрайно вероятностно пространство

Нека $\mathfrak{F}$ е някаква сигма алгебра.
Нека имаме редицата $\{A_i\}_{i=1}^{\infty} , \ A_i \in \mathfrak{F}$ ако $A_1 \subset A_2 \subset ... \subset A_n \subset .... - \{A_i\}_{i=1}^{\infty}$ - монотонно нарастваща редица, бележим с $\uparrow A_n$(мон. намаляваща е $\downarrow A_n$).
при $\uparrow A \rightarrow \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n , \ \downarrow A \rightarrow \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$

Свойство на монотонно безкрайно вероятностно пространство:

Ако $\{A_i\}_{i=0}^{\infty}$ е монотонна редица, то $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P( \lim_{n \to \infty} A_n)$ т.е. класът $\mathfrak{F}$ е затворен относно граничния преход.

Доказателство:
Нека $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$ е $\uparrow A_n$.
Дефинираме $F_i \in \mathfrak{F}$, като $F_1 = A_1$, $F_2 = A_2A_1$ и т.н.т. за другите $F$
$F_n = A_n (\bigcup _{i=1}^{n-1}A_i)^{c} = A_n A_{n-1}^{c}$. Така построените събития са несъвемстими т.е. $F_i F_j = \varnothing$ за $i \neq j$. Също така
$\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F}$ и
$\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ с-во на $P(\lim _{n \to \infty} A_n) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(F_i) = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} P{F_i} = \lim_{n \to \infty} P(\bigcup_{i=1}^{n}F_i) =$$\lim P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = lim P(A_i)$.
Ако $\downarrow A_n$ то разглеждаме $A_n^{c}$ и тя е монотонно разтяюа и освен това $P(A_n) = 1 - P(A_n^{c})$

Свойства на безкрайни вероятностни пространства

Помним, че $P : \ \mathfrak{F} \to [0,1]$, като

1. $P(A) \geq 0$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $P(A+B) = P(A) + P(B) , AB = \varnothing$
3.* $P(\sum_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) , \ A_iA_j \ \varnothing ,\ i \neq j$ (сигма адитивност)
4. Непрекъснатост в нулата на $P$:
Ако $\downarrow A_n$ то $\downarrow P(A_n)$ и то $P(A_n)$ клони към $P(\lim_{n \to \infty} A_n).$ Ако $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ се свива към невъзможното събитие $\varnothing$ при $n\to\infty$ то $\lim_{n \to \infty}$ то $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = 0$, тъй като $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(\lim_{n to \infty} \downarrow A_n) = P(\varnothing)$

Теорема за свойствата на безкрайни вероятностни пространства

Свойства 1..4 са еквивалентни на 1,2 и 3*

Доказателство:

Трябва да докажем, че $A_n \in \mathfrak{F}$. $\downarrow A_n$ и $\lim_{n \to \infty} A_n = \varnothing$ т.е. $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = 0$ е еквивалентно на сигма адитивността т.е. това че за $A_1,...,A_n,... \in \mathfrak{F}$ и $A_i A_j = \varnothing$ за $i \neq j$ и $P(\sum_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$
$\Rightarrow$
Образуваме $C_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$ то $\uparrow C_n$ и нека $C = \sum_{i=1}^{\infty} A_i$ то $P(C) = P(\sum_{i=1}^{\infty} A_i) = \lim _{n\to\infty} P(\sum_{i=1}^{n} A_i)$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} P(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

$\Leftarrow$
$\downarrow A_n$ и $\lim_{n \to \infty} A_n = \varnothing$
$A_n = \sum_{k=n}^{\infty}(A_k \setminus A_{k+1})$

$A_1 = \sum_{k=1}^{\infty}(A_k \setminus A_{k+1})$
тогава
$P(A_1) = P(\sum_{k=1}^{\infty} A_k \setminus A_{k+1}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k \setminus A_{k+1}) < \infty$
..
$P(A_n) = P(\sum_{k=n}^{\infty} A_k \setminus A_{k+1}) = \sum_{k=n}^{\infty} P(A_k \setminus A_{k+1}) \underset{n \to \infty}{\leftarrow} 0$

Теорема на Каратеодори за продължение на вероятността

Всяка вероятност $P$, дефинирана в булева алгебра $\alpha$ от събития притежава единствено продължение върху сигма алгебрата, породена от булевата алгебра.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License