Тема 18

Централна гранична теорема.(доказателство чрез пораждаща функция на моментите)

TEMATA E PYLNA S GRE6KI :)

Постановка на здачата

Нека $X_1,....,X_n,...$ независими еднакво разпределени случайни величини и $EX_1 = \mu < \infty$ и $DX_1 = \sigma^2 > 0$ и $\sigma^2 < \infty$ Разглеждаме

*Това отгоре се нарича центриране. Това отдолу е за да го нормираме

(1)

\begin{array} {} Y_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - E(\sum_{i=1}^{n} X_i)}{\sqrt{D\sum_{i=1}^{n} X_i}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \\ \\ EY_n = 0 \\ DY_n = 1 \end{array}

Теорема: ЦГТ

Нека $X_1,...,X_n,...$ са независими еднакво разпределени случайни велични с крайни $EX_1 = \mu < \infty$ и $DX_1 = \sigma^2 > 0$ и $\sigma^2 < \infty$. Тогава при $n \to \infty$ то случайната величина $X_n = \frac{\sqrt{n}(\bar{X_n} - \mu)}{\sigma} \overset{d}{\to} \xi$,
където $\xi \in N(0,1)$ т.е. $f_{\xi} (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}} , x \in \mathbb{R}$ и
$\bar{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ - извадъчно средно.

Доказателство:
Ще извършим доказателството с пораждаща моментите функция.
Знаем, че $M_{N(0,1)}(t) = e^{\frac{t^2}{2}}, |t| < h, h > 0$

Нека $m(t)$ означим пораждащата моментите функция на случайната величина $X_1 - \mu$ т.е. $m(t) = Ee^{t(x_1-\mu)}$.
Б.О.О. можем да считаме, че $EX_1 = 0$ иначе ако $EX..$
с $M(t)$ означаваме пораждащата моментите функция $X_1$ т.е.
$M(t) = Ee^{X_1t}$ следователно $m(t) = e^{-\mu t} M(t)$
$m'(0) = E[e^t(x_1-\mu)'] (0) = EX_1 - \mu = \mu-\mu = 0$
$m''(0) = E(x-\mu)^2 = DX = \sigma^2$ (от това, че $E(X-\mu=..$ това е от свойствата на пораждаща моментна функция)

сега развиваме по тейлър

$\exists \xi, o \leq \xi < t : m(t) = m(0) _ m'(0)t + \frac{m''(\xi)t^2}{2!} = 1+ 0t+ \frac{ m''(\xi)t^2}{2}$. Ще добавим и извадим $\frac{\sigma^2 t^2}{2}$

(2)

\begin{array} {} m(t) 1 + \frac{1+ \sigma^2t^2}{2} + \frac{m''(\xi)t^2}{2} - \frac{x^2t^2}{2} = \\ = 1+ \frac{\sigma^2 t^2}{2} + \frac{t^2}{2}(m''(\xi) - \sigma^2) \star \end{array}

Сега чрез $m(t)$ ще изразим пораждащата моментите функция $Y_n$.
Означаваме

(3)

\begin{array} {} M(t;n) = Ee^{tY_n} = Ee^{t\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}} = \\ = E[e^{t\frac{X_1 - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}} e^{t\frac{X_2 - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}} ... e^{t\frac{X_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}}] = \\ X_i \perp X_j, i\neq j \\ = Ee^{t\frac{X_1 - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}} Ee^{t\frac{X_2 - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}} ... Ee^{t\frac{X_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}}] = \\ = Em(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}})Em(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}})...Em(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}) = [m(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}})]^n = \star\star \end{array}

от $\star$ следва че

(4)

\begin{array} {} m(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}) = 1+\frac{\sigma^2}{2}\frac{t^2}{\sigma^2n} + \frac{1}{2}\frac{t^2}{\sigma^2 n}(m''(\xi)-\sigma^2) = \\ = 1+ \frac{t^2}{2n} + \frac{t^2}{2n\sigma^2}(m''(\xi) - \sigma^2) \end{array}

и от
$m''(\xi) - \sigma^2 \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$ и $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{t^2}{2n})^n = e^{\frac{t^2}{2}}$, което е пораждаща моментите функция на нормално разпределение
следователно по Теормета за непрекъснатост следва че тоермата е доказана.