Тема 17

17. Закони за големите числа. Теорема на Чебишев и Хинчин

Нека $X_1,...,X_n,..$ - независими случайни величини. Означаваме $s_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$ и $\eta = \frac{1}{n}(S_n-ES_n)$

Дефиниция : СЗГЧ

Казваме, че редицата $\{ X_n\}_{n \geq 1}$ удовлетворява слаб закон за големите числа (СЗГЧ) ако е изпълнено
$\star \lim P(\frac{1}{n} | S_n - ES_n| > \varepsilon) = 0 , \forall \varepsilon > 0$
Това е същото като $\frac{1}{n} |S_n - ES_n| \overset{P}{\to} 0 , n\to \infty$

Това означава, че $\frac{1}{n} S_n$ асимптотично равна с $\frac{ES_n}{n}$
т.е. $\frac{1}{n}S_n \approx \frac{E\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}E X_i}{n} = \frac{\mu_n}{n} = \mu$

Дефиниция : УЗГЧ

Ако сходимостта в $\star$ e 'почти сигурно' то казваме, че $\{ X_n \}_{n \geq 1}$ удовлетворяват усилен закон за големите числа (УЗГЧ)

Теорема на Марков

Ако $X_1,...,X_n,...$ са произволни случайни величина и $\frac{1}{n^2} D \sum_{i=1}^{n} X_i \underset{n \to \infty}{\to} 0$ то $\{X_i \}_{i \geq 1}$ удовлетворява СЗГЧ

Доказателство:
От слестствието при $r=2$ на неравенството на Чебишов следва

(1)

\begin{array} {} P \{ \frac{1}{n} |S_n - ES_n| > \varepsilon \} < \frac{D S_n}{n^2 \varepsilon^2} \underset{n\to \infty }{\to} 0 \end{array}

следователно е изпълнено $\star$

Следствие
Ако $\{ X_n\}_{n \geq 1 }$ са независими еднакво разпределени сл. величини и $DX_1 = \sigma < \infty$ то е в сила СЗГЧ когато

(2)

\begin{array} {} \frac{1}{n^2} D \sum_{i=1}^{n} X_i = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} DX_i = n \frac{\sigma}{n^2} = \frac{\sigma}{n} \underset{n \to \infty}{\to} 0 \end{array}

Теорема на Хинчан

Ако $\{X_n\}_{n \geq 1}$ - независими еднакво разпределени случайни величини и $EX_i < \infty$ тогава е в сила СЗГЧ

Теорема на Колмогоров

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ - независими еднакво разпределени случайни величини, за които $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{DX_n}{n^2} < \infty$, тогава е в сила УЗГЧ т.е.
$\frac{S_n - ESn}{n} \overset{a.c.}{\rightarrow} 0$ при $n \to \infty$

Теорема 2 на Колмогоров (НДУ)

$\{ X_i \}_{i \geq 1}$ - независими еднакво разпределени случайни величини.
НДУ $\{ X_n \}$ да удовлетворяват УЗГЧ е $E|X_1| < \infty$