Тема 16

16. Сходимост на редици от случайни величини.

NE E ZAVYRSHENA LEKCIQTA

Дефиниция: редица от случ. величини сходяща към случайната величина по разпределение

Казваме, че редицата $\xi_1,...,\xi_n$ е сходяща към случайната величина $\xi$ по разпределение ако рециата от функциите на разпределение $\{ F_{\xi_k} \} _{k=1}^{n}$ клони към функцията на разпределение на случайната величина $\xi - F_{\xi}(x)$ във всички точки на непрекъснатост на функцията на разпределение $F_{\xi} (x)$. Бележим с
$\xi_n \overset{d}{\to} \xi$

Дефиниция: редица от случ. величини клоняща по вероятност към

Казваме, че редицата $\{ \xi_n \}$ клони по вероятност към $\xi$ ако $\forall \varepsilon > 0$
$P\{ |\xi_n - \xi| > \varepsilon \} \to 0$ при $n \to \infty$

Дефиниция: редица от случ. величини сходяща с вероятност единица

Ще казваме, че редицата $\{ \xi_n \}$ е сходяща с вероятност единица или почти сигурно към случайна величина $\xi$, ако
$P\{ \lim_{n \to \infty} \xi_n = \xi \} = P\{ \lim_{n \to \infty} \sup \xi_n = \lim_{n \to \infty} \inf \xi_n \} = 1$
Бележим $\xi_n \overset{a.c.}{\to} \xi$

Дефиниция: редица от случ. величини клони в средно от ред

Редицата $\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}$ клони към $\xi$ в средно от ред $\xi$.
Записаме $\xi_n \overset{Lr}{\to} \xi$ , ако $E(|\xi_n-\xi|^r) \to 0 (n \to \infty)$ т. е.
$\lim_{n\to \infty} E | \xi_n - \xi |^r = 0$

Частен случай за редица от случ. величини клони в средно от ред

при $r= 2$ тогава
Редицата $\{ \xi_n \}$ с $E\xi^2 < \infty$ се нарича сходящва в средноквадратичен смисъл ($L_2$-сходяща) към случайна величина $\xi$ с $E\xi^2$ ако
$\lim_{n \to \infty} E(\xi_n-\xi)^2 = 0$. Бележим с Бележим $\xi_n \overset{L_2}{\to} \xi$

Връзки

п.с. - почти сигурно $a.c. - almost certain$
$L_r$ - в средно от ред $L$
$P$ - вероятност
$d$ - разпределение

$[a.c.] \to [p]$
$[Lr] \to [p]$
$[p] \to [d]$

Връзката $L_r \to p$ следва от неравенството на Чебишов $P(|\xi_n - \xi| > \varepsilon) \leq \frac{ E |\xi_n - \xi|^r}{\varepsilon^r}, \xi_n-\xi = \eta$