Тема 15

Пораждащи функции. Теорема за непрекъснатост.

ЛЕКЦИЯТА Е ПЪЛНА С ГРЕШКИ ВСЕ ОЩЕ

Дефиниция: Пораждаща функция

Нека $\xi$ е дискретна случайна величина с разпределение $p_n = P(\xi = n)$. Тогава пораждаща функция на случайна величина $\xi$ означава $F_{\xi}(s) = F(s) = ES^{\xi}$
$F_{\xi}(s) = ES^{\xi} = \sum_{n=0}^{\infty} S^nP(\xi = n)$

Свойства на пораждаща функция

1. $F_{\xi}(1) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n = 1$
2. На всяко вероятностно разпределение $\{p_n\}_{n \geq 0}$ съответства единствена пораждаща функция $F_{\xi}(s)$. От друга страна, на всяла функция $F_{\xi}(s)$ аналитична в $|s| < 1$ и с неторицателни коеф., съответства единствено вероятностно разпределение. (Аналитична функция е веяис която има производни от произволен ред)
3. Пораждаща функция $F_{\xi}(s)$ и всичките и производни са неотрицателни, изпъкнали и ненамаляващи функции по $s$ в $|s| < 1$

Доказателство:
Изпълнено е, че $F^{(k)}(s) = \sum_{n=k}^{\infty} n(n-1)(n-2)(n-3)....(n-k+1)p_{n}s^{n-k} \geq 0$ за $s \in [0,1]$ и $k= 1,2,...$

4. Означаваме $а_{k} = E\{ \xi(\xi-1)...(\xi -k +1) \}$ - $k$-ти факториален момент на случайната величина $\xi$
$a_1 = E{\xi}, a_2 = E\{ \xi(\xi-1)\} = E{\xi^2} - E\xi$
$D_\xi = a_2+a_1 - a_1^2$

5. За всяко $k \in \mathbb{N} : a_k = F^{(k)}_{\xi} (1) , |s| \leq 1$ (по Теорема на Або…)

Пример за пораждаща функция

$\xi \in B_i(n,p)$ тогава
$F_\xi(s) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}p^kq^{n-k}s^{k} = (ps+q)^n$

(1)
\begin{array} {} F'_{\xi}(s) = np(ps+q)^{n-1} \\ F''_{\xi}(s) = n(n-1)p^2(ps+q)^{n-2} \\ a_1 = F'_{\xi}(1) = np \\ a_2 = F''_{\xi} (1) = n(n-1)p^2 \\ a_1= E{\xi} \Rightarrow E\xi = np \\ D = a_2+a_1 - (a_1)^2 = n(n-1)p^2 - np -(np)^2 = n^2p^2 - np^2 + np - n^2p^2 = \\ =-np(p-1) = np(1-p) = npq \end{array}

Теорема 1 : Мултипликативно свойство

Ако $\xi_1,...,\xi_n$ са независими случайни величини с пораждащи функции $F_{\xi_k} (s) , k=1..n$ то
$F_{\xi_1+...+\xi_n} (s) = \prod_{k=1}^{n} F_{\xi_k} (s)$

Доказателство:
от $\xi_1,...,x_n$ са незавсими то и $s^{\xi_1},...,s^{\xi_n}$ са също независими, тогава
$Es^{\xi_1+...+\xi_n} = Es^{\xi_1}...s^{\xi_n} = \prod_{k=1}^{n} Es^{\xi_k}$ което е еквивалентно с исканото.

Теорема 2 за пораждаща функция

Нека $\{\xi_n\}$ са независими и еднокво разпределени случайни величини с пораждаща функция $F_{\xi}(s)$ и $\nu$ е независима от тях, целочислена случайна величина с пораждаща функция $F_{\nu}(s)$. Тогава пораждащата функция на сумата $U_\nu = \xi_1+...+\xi_\nu$ от случаен брой случайни величини се определя от суперпозицията
$F_{U_\nu} (s) = F_{\nu}(F_{\xi}(s))$

Теорема за непрекъснатост

Нека $\xi_1,...,\xi_n,...$ е редица от целочислени случайни величини с разпределения $p_k(n) = P(\xi_n = k)$ и $\sum_{k=0}^{n} p_k(n) = as$ и съответни пораждащи функции

$F_n(s) = Es^{\xi_n} = \sum_{k=0}^{\inf} p_k(n) s^k , n=1,2,...$, за да бъде изпълнено при $\forall k= 0,1,... \lim_{n \to \infty} p_k (n) = p_k$ необходимо и достатъчно е при всички $0 \leq s < 1$ да имаме $\lim _{n \to \infty} F_n (s) = F(s)$

Дефиниция : Пораждаща мoментите функция

Нека $X$ случайна величина. Пораждаща мoментите функция на $X$ е $M_x(t) = E e^{tx}$. Тя е добре дефинирана в $|t| < h, h > 0$

Свойства
1. $M_x(0) = 1$
2. $M_x^{(k)}(0) = EX^k , k=1,2,3....$
Доказателство:
$M_x(t) = Ee^{tx}$
$M'_x(t) = Exe^{tx}$
$M''_x(t) = Ex^2e^{tx}$ и т.н.

Пример за пораждаща мoментите функция

Нека $X$ е случайна величина с нормално разпределение т.е $X \in N(0,1)$
Стандартната нормална плътност е $f_{xN(0,1)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$
Тогава

(2)
\begin{array} {} M_x(t) = Ee^{tx} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-x^2}{2}} e^{tx} dx = \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(x^2-2tx)} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}[(x-t^2)^2 -t^2]} dx = \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{t^2}{2}} e^{-\frac{1}{2}(x-t)^2} dx = \frac{e^{\frac{t^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(x-t)^2} d(x-t) = \frac{e^{\frac{t^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{v}{2}} dv = e^{\frac{t^2}{2}} \end{array}

на последния ред полагаме $x-t = v$ и ипозлваме
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{v}{2}} dv = 1$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License