Тема 14

Нормално разпределение и разпределение свързани с нормалното.

temata ne e preglejdana

Дефиниция: Нормално разпределена случайна величина

$\xi \in N(0,1)$ наричаме стандартно нормално разпределена случайна величина, ако нейната плътност е
$f_\xi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} , x \in \mathbb{R}$ и $F_\xi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$

Дефиниция: Гама функция на Ойлер

Гама функция на Ойлер се дефинира като $\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x} d x$

Свойства на Гама функция на Ойлер

1. $\Gamma(1) = \int_{0}^{+\infty } e^{-x} d x = e^{-x} |_{0}^{+\infty} = 1$
2. $\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1) \Gamma (\alpha - 1)$ за $\alpha$
3. $\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)!$, ако алфа е цело число

Дефиниция: Гама разпределена случайна величина

Ще казваме, че случайната величина $\xi$ има $\Gamma$ разпределение с параметри $\alpha > 0$ и $\beta > 0$ (онзачаваме $\xi \in \Gamma(\alpha, \beta)$), ако $\xi$ има плътност

$f_\xi(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} , x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{cases}$

$E_\xi = \int_{-\infty}^{\infty} x f_\xi(x) dx = \frac{1}{\beta^{\alpha} \Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-\frac{x}{\beta}} dx =$
$= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} (\frac{x}{\beta})^{\alpha} e^{-\frac{x}{\beta}} d x = \frac{\beta \Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} = \alpha \beta$

$E\xi^2 = a(a+1)\beta^2$
от $g(x) = x^2 = \xi^2$
$E\xi^2 = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f_\xi(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_\xi(x) dx$ и си решаваме интеграла самостоятелно за упражнение

следователно $D\xi = E_\xi^2- (E_\xi)^2 = a(a+1)\beta^2 - (a\beta)^2 = (a\beta)^2$

Дефиниция: Експоненциално разпределение

$\Gamma$ разпределение при което $\alpha = 1$ то казваме, че случайната величина $\eta \in Exp(\frac{1}{\beta}), \beta > 0$ има експоненицално разпределение ако
$f_{\eta}(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta}e^{-\frac{x}{\beta}}, \beta > 0, x > 0 \\ 0 , x \leq 0 \end{cases}$
и $\Gamma(1,\beta) = Exp(\frac{1}{\beta})$

Дефиниция: Хи-квадрат разпределение

Ако $\xi \in \Gamma(\alpha,\beta)$ и $\alpha$ е кратно на 2 т.e.
$\alpha = \dfrac{\nu}{2}$
Казваме, че $\xi \in \chi^2(\nu)$ т.е. $\xi$ e кси-квадрат разпределение с $\eta$ степен на свобода
или записано по друг начин
$\xi \in \Gamma(\frac{\nu}{2},\beta)$

Дефиниция: Бета разпределение

Казваме, че случайната величина $\xi$ има $\beta$- разпределение с параметри $p>0$ и $q > 0$ ако има плътност

$f_{\xi}(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{B(p,q)} , 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \end{cases}$

където
$B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = \dfrac {\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
е Бета функция на Ойлер и
$E_{\xi} = \frac{p}{p+q}$ , $D_{\xi} = \frac{pq}{(p+q)^2(p+q+1)}$

Теорема: Връзака между Гама разпределения с еднакъв втори параметър

Нека $\xi \in \Gamma(\alpha,\lambda)$ и $\eta \in \Gamma(\beta,\lambda)$ тогава:

1. $\Theta_1 = \xi + \eta \in \Gamma(\alpha+\beta,\lambda)$
2. $\Theta_2 = \frac{\xi}{\xi+\eta} \in \beta(\alpha,\beta)$
3. $\Theta_1 \perp \Theta_2$

Доказателство:
от $\xi \perp \eta$ то $f_{\xi,\eta}(x,y) = f_\xi(x) f_\eta(y)$
извършваме смяна
$U : \bigg| \begin{cases} v = \frac{x}{x+y} \\ u = x+y \end{cases} \rightarrow V = U^{-1} : \bigg| \begin{cases} x = uv \\ y = u(1-v) \end{cases}$

$J(v) = det \bigg| \begin{matrix} v & u \\ 1-v & -u \end{matrix} \bigg| = -u$

тогава $|J(v)| = |-u| = u$

(1)

\begin{array} f_{\xi,\eta}(x,y) = f_\xi(x)f_\eta(y) = \frac{1}{\lambda^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\lambda}}\frac{1}{\lambda^{\beta}\Gamma(\beta)}y^{\beta-1}e^{-\frac{y}{\lambda}} \end{array}

тогава

(2)

\begin{array} \xi_{\Theta_1,\Theta_2}(u,v) = u \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)\lambda^{\alpha+\beta}} (uv)^{\alpha-1}e^{-\frac{uv}{\lambda}}[u(1-v)]^{\beta-1}e^{\frac{u(1-v)}{\lambda}} \end{array}

от
$B(a,b) = \frac{ \Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$

(3)

\begin{array} \underset{\Rightarrow \Theta_1 \in B(\alpha,\beta)}{\underbrace { \frac{1}{B(\alpha,\beta)} v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}}}\underset{\Rightarrow \Theta_2 \in \Gamma(\alpha+\beta,\lambda)}{\underbrace { \frac{[\Gamma{\alpha+\beta}]^{-1}}{\lambda^{\alpha+\beta}} u^{\alpha+\beta-1}e^{-\frac{u}{\lambda}}}} = = f_{\Theta_1}(u)f_{\Theta_2}(v) \Rightarrow \Theta_1 \perp \Theta_2 \end{array}