Тема 12

Преобразувания на сл. в. Разпределение на сума, разлика, произведение и частно на случайни величини.

страницата не е проверявана за грешли!.. тоест грешки.

Теорема за смяна на променливите

Нека $A$ и $B$ са отворени интервали в $\mathbb{R}$ и $\xi$ - случайни величини с вероятностна плътност $f_\xi(x)$ дефинирана в $A$. Нека $U$ - изображение : $A \to B$ и нека $\exists V = U^{-1}$ обратното изображение. $V$ е непрекъснато и притежава първа производна. Тогава $\eta = U(\xi)$ има плътност, дефинирана в $B$.

$f_\eta(x) = | J(V)_{(x)}|.f_\xi(V(x))$ за $\forall x \in B$, където $J(V)$ - Якобиан на обратната трансформация на $U$.

$J (V) = det\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial v_1} ...... \dfrac{\partial x_1}{\partial v_n} \\ ............ \\ \dfrac{\partial x_n}{\partial v_1} ...... \dfrac{\partial x_n}{\partial v_n} \end{bmatrix}$

като $v_1,..,v_n$ - новите променливи при трансформацията с изображението, $x_i$ - променливите в функцията ни.

Теорема : аритметика с независими случайни величини /приложение на смяна на променливите/

Нека случайните величини $\xi \perp \eta$ и $f_{\xi}(x)$ и $f_\eta(y)$ - плътности. Тогава

  1. $f_{\xi \pm \eta} (x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x \mp y)f_\eta(y) dy$
  2. ако $\xi,\eta > 0$ то $f_{\xi\eta}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{y} f_{\xi}(\frac{x}{y}) f_\eta(y) d y$
  3. ако$\xi,\eta > 0$ то $f_{\frac{\xi}{\eta}}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{\xi}(xy)f_{\eta}(y) dy$

Доказателство:
1. За $f_{\xi + \eta}(x)$
Tръгваме от $f_{\xi,\eta}(x,y) = f_\xi(x)f_\eta(y)$ от това че $\xi \perp \eta$. Извършваме смяна на променливите, като онзачаваме с $U$ трансформацията

$U: \Bigg| \begin{matrix} u = x +y \\ v= y \end{matrix}$
тогава $V = U^{-1} : \Bigg| \begin{matrix} x = u - v \\ y = v \end{matrix}$
такка получаваме
$J (V) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

Тогава $f_{\xi+\eta,\eta} (u,v) = |I(V)_{(x)}|f_\xi(u - v) f_\eta(v) = f_{\xi}(u-v)f_{\eta}(v)$ следователно след като интегрираме по $v$
то $f_{\xi+\eta}(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi}(u-v)f_{\eta}(v) dv$

Дефиниция: композиция от случайни величини

$f_{\xi+\eta}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi}(x-y)f_{\eta}(y) dy$ се нарича компзиция или конволация на случайните величини $\xi$ и $\eta$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License