Тема 11

Съвместно разпределение на две случайни величини. Многомерна функция на разпределение. Независими случайни величини.

** темата не е преглеждана, сигурно има много грешки!**

В дискретния случай

Дефиниция: Съвместсно разпределение на случайни величини

Имаме $\xi, \eta$ - случайни величини. Съвместно разпределение е:
$\sum_{i = 1}^{n} p_{ij} P \{ \eta = y_i\} = r_j$ за $j = 1..m$.
$r_j$ - разпределението само на $\eta$ - наричаме го маргинално разпределение на $\eta$.

$\sum_{j=1}^{m} p_{ij} = P\{ \eta x_i \} = i q_i$ за $i=1..n$ - маргинално разпределение на $\xi$

Съвместно разпределние на случайни величини:

$\eta \setminus \xi$ $y_1$ $y_2$ $...$ $y_j$ $...$ $y_m$
$x_1$
$x_2$
$x_3$
$...$
$x_i$ $p_{ij}$
$...$
$x_n$

$p_{ij} = P\{ \xi = x_i, \eta = y_j \}$ за $i=1..n, j = 1..m$ и $\sum_{ij} p_{ij} = 1$

Дефиниция: Независими случайни величини

Казваме, че $\xi$ и $\eta$ са независими $\xi \perp \eta$ ако $p_{ij} = P\{ \xi = x_i, \eta = y_j\} = P\{\xi=x_i\}P\{\eta=y_i\}, i = 1..n, j = 1..m$

В непрекъснатия случай

Дефиниция: маргинални разпределения

$\xi, \eta$ - непрекъснати случайни величини, $f_{\xi,\eta}(x,y) \geq 0$ - съвместима плътност на случайните величини $\xi, \eta$ за $x,y \in \mathbb{R}$
такава, че $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi,\eta} (x,y) dx dy = 1$
и
$\int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi,\eta} (x,y) dx = f_{\eta}(y)$ - маргинална плътност на $\eta$
$\int_{-\infty}^{\infty} f_{\xi,\eta} (x,y) dy = f_{\xi}(x)$ - маргинална плътност на $\xi$

Дефиниция: Независимост на случайни величини

Независимост на случайни величини $\xi, \eta$ имаме ако $f_{\xi,\eta} = f_{\xi}(x) f_{\eta}(y)$

Обобщение на независимост в двата случая

$\xi \perp \eta \iff E{\xi\eta} = E{\xi}E{\eta}$

Дефиниция: Многомерна случайна величина(случаен вектор)

Случаен вектор е $\vec{\xi}= (\xi_1,...,\xi_n), \xi_i$ - случайна величина в $(\Omega, F, P) \Rightarrow \{\omega : \xi_k(\omega) \leq x_k \} \in \mathfrak{F}$ за $\forall k = 1..n, x_k \in \mathbb{R} \Rightarrow \cap_{i=1}^{n} \{\xi_k \leq x_k\} \in \mathfrak{F}$

Дефиниция: Многомерна функция на разпределение

Многомерна функция на разпределение на $\vec{\xi}$ наричаме
$F_{\vec{\xi}}(\vec{x}) = F_{\xi_1,\xi_2,..,\xi_n}(x_1,...,x_n) = P(\cap_{k=1}^{n} \xi_k(\omega) \le x_k)$

Свойства

  1. $0 \leq F_{\vec{\xi}} \leq 1 , \forall \vec{x} = (x_1,...,x_n)$
  2. Многомерната функция на разпределение $F_{\vec{\xi}}(\vec{x})$ е монотонно ненамаляваща по всички аргументи т.е. за $\forall k_1,..,k_n$
  3. $F_{\vec{\xi}} (+\infty,....,+\infty) = 1$, където $\forall x_k \to +\infty$ за $k =1..n$ $\lim_{x_k \to +\infty}$, но $F_{\vec{\xi}}(x_1,...,x_n) = 0$, ако поне едно $x_a \to -\infty$
  4. Условие за съгласуваност при $n = 2$. Нека $a_k < b_k, k=1,2$, $\xi_1$ и $\xi_2$ - случайни величини и $a_1 \leq \xi_1 \leq b_1$ и $a_2 \leq \xi_2 \leq b_2$ то $P(a_1 \leq \xi_1 \leq b_1 , a_2 \leq \xi_2 \leq b_2) \geq 0$

Теорема на Колмогоров

Ако $\{ F_n(x_1,...,x_n)\} n \geq 1$ са функции на разпределение, които удовлетворяват свойствата от 1 до 3 и ако
$F_{n+m}(x_1,..,x_n, \underset{m}{\underbrace{ +\infty,...,+\infty}}) = F_n(x_1,..,x_n)$ то $\exists$ вероятносно пространство $(\Omega, F, P)$ в което може да се дефинира редица $\xi_1,...,\xi_n$, чието съвместно разпределение се дава от функциите $F_n(x_1,...,x_n)$

Дефиниция: Ковариация на в случайни величини

Ковариация на 2 случайни величини $\xi, \eta$ наричаме
$cov(\xi,\eta) = E[(\xi-E\xi)(\eta - E\eta)] = E(\xi\eta)-E\xi E\eta$ т.е. ако $\xi \perp \eta$, то $cov(\xi,\eta) = 0$

Дефиниция: Коефициент на корелация

Коефициент на корелация наричаме
$r(\xi, \eta) = \dfrac{cov(\xi,\eta)}{\sqrt{D_{\xi} D_{\eta}}}$

Теорема: ДУ с корелациа за две случайни величини да са линейно зависими

$|r(\xi,\eta)| \leq 1$ и когато $|r(\xi,\eta)| = 1$ то $\xi = a\eta + b$, за $a,b - const$ т.е. едната е линейна комбинация на другата.

Доказателство:
От неравенството на Коши-Бункяковски-Шварц то следва, че $|r(\xi,\eta)| \leq 1$. $\xi$ - центрирана и нормирана сл. величина т.е. $\bar{\xi} = \frac{\xi - E\xi}{\sqrt{D\xi}}$. сега разглеждаме
$E[\bar{\xi} - \bar{\eta}]^2 = E{\bar{\xi}^2} + E{\bar{\eta}^2} - 2E\bar{\xi}\bar{\eta}$.
Нека $|r(\xi,\eta) = 1|$ тогава, тъй като $E\bar{\xi}^2 = E(\frac{\xi - E\xi}{\sqrt{D\xi}})^2 =E\frac{(\xi - E\xi)^2}{D\xi} = \frac{D\xi}{D\xi} = 1$

следователно $E[\bar{\xi}-\bar{\eta}] = 1+1 - 2E[(\frac{\xi - E\xi}{\sqrt{D\xi}})(\frac{\eta - E\eta}{\sqrt{D\eta}})] =$
$= 2 - 2 \dfrac{E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]}{\sqrt{D\xi D\eta}} = 2-2 \frac{cov(\xi,\eta)}{\sqrt{D\xi D\eta}} = 2-2r(\xi,\eta) = 0$
Следователно $\bar{\xi} = \bar{\eta}$ т.е.
$\frac{\xi-E\xi}{\sqrt{D\xi}} = \frac{\eta-E\eta}{\sqrt{D\eta}} \rightarrow \eta = a\xi + b$, където
$a = \frac{\sqrt{D\xi}}{\sqrt{D\eta}}$ и $b = E\eta-aE\xi$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License