Тема 10

Числови характеристики на случайни величини. Неравенства.

Традиционно очавкането се бележи с $\mu = EX$ и дисперсията с $\sigma^2 = DX$. Нека $X$ е случайна величина. Тогава $\frac{X - \mu}{\sigma} = \bar{X}$ също е случайна величина.

$X - \mu \to$ от случайната величина вадми очакването, това е центриране, тъй като $E \bar{X} = 0$. Деленето на $\sigma$ наричаме нормиране т.к. $D\bar{X} = E (\frac{x-\mu}{\sigma})^2 = E(\frac{X - EX}{\sigma^2})^2$. Ако $\bar{X}$ е центрирана и нормирана случайна величина, наричаме $Z-scores$ ?!?!

Дефиниции : моменти на случайни величини

$E(X)^k$- $k$-ти начален момент на случ. величина
$E(X-EX)^k$ - $k$-ти централен момент
$E|X|^k$- $k$-ти абсолютен момент

Дефиниция: Асиметрия на случайна величина

Асиметрия на случайна величина $X$ е $Ass X = E[\bar{X}]^3 = \frac{E[X-EX]^3}{\sigma^3}$.
картинки…
На кратко, ако асиметрията на случ. величина е $0$ графиката на фунцкията на разпределението е центрирана спрямо ординатната ос.
Ако е $< 0$ се намира на дясно от ординатата, ако е $> 0$ - на ляво.

Дефиниция: Еискес на случайна величина

Еискес на случайна величина $X$ е $Ex[X] = E[\bar{X}]^4$

Ако $E_x[X] = 0$ графиката е нормална.
Ако $E_x[X] < 0$ графиката е с по-остър връх.
Ако $E_x[X] > 0$ графиката е с по-полегат връх.

Дефиниция: Медиана

Медиана е онова число $m: F(m) = \frac{1}{2}$ където $F$ е функция на разпределение на случайна величина.

Дефиниция: Мода

Мода на разпределението е $max$ стойност на случайната величина или непрекснатия сличай е координатата на max на плътността.
При центрирано, нормално разпределение е $m = mode = 0$.

Дефиниция: алфаквантил на разпределението

$\alpha$-квантил на разпределението на случайна величина на $X$ е число $q_\alpha : F(q_\alpha) = \alpha$

• ако $\alpha$ е кратно на $\frac{1}{4}$ то се нарича квартил
• ако $\alpha$ е кратно на $\frac{1}{10}$ се нарича делил
• ако $\alpha$ е кратно на $\frac{1}{10}$ се нарича прокентил

Неравенство на Чебишов

Нека $\xi \geq 0$. Тогава за $\varepsilon > 0$ е в сила неравенството на Чебишов $P(\xi > \varepsilon ) < \frac{ E \xi}{\varepsilon}$

Доказателство:

за $\forall \varepsilon > 0$ имаме
$E\xi = \int_{\Omega} \xi d P(\xi) \geq \int_{\{\xi > \epsilon \}} \xi d P(\xi) \geq \varepsilon \int_{\xi \geq \varepsilon} 1 d P(\xi) = \varepsilon P(\xi \geq \varepsilon)$

Следствие:
За всяка случайна величина $\eta$ и за $\forall s > 0$ е изпълнено $P(|\eta| \geq \varepsilon) \leq \frac{E|\eta|^s}{\varepsilon^s}$

при $s = 2$, получаваме
$P( |\xi - E\xi|\geq \varepsilon) \leq \frac{ D_\xi}{\varepsilon^2}$, което също се нарича неравенство на Чебишов.

Неравенство на Коши-Буняковски-Шварц

$\forall \xi, \eta$ - случайни величини : $E|\xi\eta| \leq \sqrt{E\xi^2E\eta^2}$

Доказателство:

Ще използваме неравенството на триъгълника т.е. $2|ab| \leq a^2+b^2$. Полагаме $a^2 = \frac{\xi^2}{E\xi^2}, b^2 = \frac{\eta^2}{E\eta^2}$ и заместваме:

$2\big| \dfrac{\eta \xi }{\sqrt{E\xi^2}\sqrt{E\eta^2}} \big| = 2 \dfrac{\xi\eta}{\sqrt{E\xi^2E\eta^2}} \leq \dfrac{\xi^2}{E\xi^2} + \dfrac{\eta^2}{E\eta^2}$

Вземаме математическото очакване от 2-те страни (трябва да се има предвид дали операторът Мат. Очавкане запазва знака за сравнение )
тогава

$\dfrac{2E|\eta\xi|}{\sqrt{E\xi^2E\eta^2}} \leq \frac{E\xi^2}{E\xi^2}+ \frac{E\eta^2}{E\eta^2} = 2$ следователно
$E|\xi\eta| \leq \sqrt{E\xi^2E\eta^2}$

Неравенство на Йенсен

Ако $E_\xi$ е крайно и $g(x)$ е изпъкнал (гледа надолу) e в сила следното неравенство на Йенсен
$g(E\xi) \leq Eg(\xi)$

Доказателство:

От изпъкналостта на $g(x)$ следва, че за $\forall x_0 \in \mathbb{R}$ то $\exists_c : c(x_0)$, такава че
$g(x) \geq g(x_0) + c(x-x_0)$.
Като положим $x = \xi$ и $x_0 = E\xi$ и вземем математическото очакване от двете страни, получаваме
$E_g(\xi) \geq Ec(\xi-E\xi) + Eg(E\xi) \geq g(E\xi)$