Въведение, основни понятия.

Днес ще си говорим най-вече за терминология и аксиоми, които ще ползваме в следващите лекции.
Което не означава, че ще е скучно, де.

Случаен експеримент, фазово пространство

Първо, какво е експеримент?
В нашия случай, експеримент е почти всичко. Всяко нещо, което може да има някакъв резултат е експеримент1.

Случаен експеримент

Случаен експеримент е такъв, на който не можем да предвидим какъв ще бъде изходът.
Хвърлянето на монета, залагането на рулетка и протягането на ръце към звездите са случайни експерименти.

Фазово пространство

Нещо важно при изучаването на експерименти и вероятности същите да завършат по определен начин е множеството от всички начини, по които даден експеримент може въобще да завърши - множеството от всички възможни завършеци (изходи) на експеримента.
Това множество се нарича фазово пространство(терминът е въведен от физици).
В курса ще се използва по-често терминът Пространство от изходите.

Фазовото пространство за даден експеримент се отбелязва с Омега(главна буква): $\Omega$.
Елементите на това множество често ще отбелязваме с малко омега и някакъв индекс.

Класически пример:
Хвърляне на монета.
При този експеримент получаваме като резултат Ези или Тура. Записано с горните означения:
$\Omega = \{\omega_1, \omega_2\}$ = {0 (Тура), 1 (Ези)}

Още един Класически пример:
Хвърляне на зарче. $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Възможно е на един експеримент да съответстват 2 или повече пространства от изходи в зависимост от това как го интерпретираме.
Нека да хвърлим две зарчета. Тогава има няколко варианта.

  • Зарчетата са неразличими едно от друго. Тоест, (2,3) е равно на (3,2).
(1)
\begin{eqnarray} \Omega_1 &=& \{(i, j) | i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} , (i, j) \equiv (j, i)\} \\ &=& \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), \\ && (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), \\ && (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\ && (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6)\} \end{eqnarray}
  • Зарчетата са различими. Вариантите са повече.
(2)
\begin{eqnarray} \Omega_2 &=& \{(i, j) | i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \\ &=& \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), \\ && (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), \\ && (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \\ && (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), \\ && (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), \\ && (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \end{eqnarray}

Естествено, пуританите ще възроптаят, че това всъщност са два различни експеримента. И ще са напълно прави. Много неща са основно въпрос на гледна точка.

В примерите дотук пространството на изходите е дискретно множество.
То обаче може да бъде и безкрайно, и непрекъснато, и даже неизброимо.

Пример за това е времето, за което произволен радиоактивен изотоп ще се разпадне. Чичо Хайзенберг добре ни е научил, че това няма как да се определи точно.
$\Omega = [0, \infty)$2.

Видове събития

Случайно

Произволно подмножество A на пространството от възможните изходи се нарича случайно събитие.
$A = \{\omega_{i1}, \dots, \omega_{ik} \} \subseteq \Omega$
Събитие с 99% сигурност пак се нарича случайно, защото не сме сигурни какво ще стане.

Достоверно

Събитие, което винаги се случва(тоест, има вероятност 100%).
Имайки предвид, че случайно събитие е всяко подмножество на пространството от изходите $\Omega = \{\omega_i | i = 1, 2, \cdots, n\}$ , то достоверното събитие е събитието, съвпадащо с цялото $\Omega$.
Примерно, да изръся някоя просотия докато пиша важни дефниции.

Невъзможно

Събитие, което никога не се случва(тоест, има вероятност 0%).
Иначе казано - събитието, съвпадащо с празното подмножество $\emptyset$ на $\Omega$.
Примерно, сексапилната колежка която седи пред мен да ме пита какво ще правя довечера.3

Операции със събития

Тук, както и в повечето математически дисциплини, има известен брой елементарни операции.

Обединение

Обединение на събитията A и B е такова събитие C, което се случва, когато поне едното от A или B е изпълнено.
$C = A \cup B$

Сечение

$C = A \cap B$
Сечение на събитията A и B е такова събитие C, което се случва, когато, както A, така и B са изпълнени.

Допълнително (противоположно) събитие:

Противоположно на A събитие е такова, което се случва тогава и само тогава, когато A не се случва.
Отбелязва се като А-черта: $\bar{A} = \Omega \setminus A$

Несъвместими събития

Несъвместими събития са такива, които не могат да се случат едновременно:
$A \cap B = \emptyset$
Обединението на две несъвместими събития по конвенция се записва като събиране:
$A \cap B = \emptyset \rightarrow A \cup B = A + B$

Събитие, пораждащо друго събитие

$A \subseteq B$ - От A следва B. Тоест, когато A е изпълнено, тогава винаги B е изпълнено. B може да е вярно и без A да е вярно.

Комутативен, асоциативен и дистрибутивен закон. Закон на де Морган

Изпълнени са добре известните закони:
$A \cap B \equiv B \cap A$
$A \cup B \equiv B \cup A$

$(A \cap B) \cap C \equiv A \cap (B \cap C)$

$(A \cup B) \cap C \equiv (A \cap C) \cup (B \cap C)$

И т.н. и т.н.

Вероятност

Имаме някакъв експеримент - E. Той може да завърши по n различни начина
Интересува ни ако проведем E каква е вероятността той да завърши в изход $\omega_k$.

Неформална дефиниция

(Броят начини да се стигне до $\omega_k$) разделено на (всички възможни начини да протече експериментът).

Това всъщност е 100% вярна дефиниция, но не ни върши много работа, защото твърде често просто не можем да преброим всички начини(примерно, безброй са).

Формална дефиниция

Известна още като Закон за големите числа

Съществува функция, която характеризира вероятността на дадено събитие. Тя в общия случай се намира трудно.
Важното е, че съществува. Т.е. има към какво да се стремим и да апроксимираме.

Един начин да се сметне вероятността е чрез провеждане на експеримента.
Естествено, ако хвърлиш зарче точно веднъж, аз няма мога да кажа колко ще се падне. Но ако го хвърлиш десет хиляди пъти, мога да твърдя с 99% точност, че средният резултат ще е 3.54.

Законът за големите числа постулира, че ако хвърлим зарчето безброй пъти ще получим 100% верен резултат.
В общи линии цялата идея на този курс е да се научим да не хвърляме разни неща по безброй пъти, а да действаме малко по-умно.

Свойства на вероятностите

Относно изчисляването на функцията на вероятността - за момента няма да се впускаме в смятане на интеграли и лимеси, спокойно. Само ще кажем, че съществува и ще поставим някакви ограничения за нея.

Та, съществува някаква магическа функция.
Тя има следните свойства.

Неотрицателност:

Всяка вероятност е от 0 до 1.
0 означава невъзможно, 1 означава 100% сигурно.Нищо особено.
$\forall E \rightarrow 0 \le P(E) \le 1$

Нормираност:

Вероятността на достоверно събитие е едно.
$P(\Omega) = 1$
Да, това е голяма тавтология.5

Сигма адитивност.

Имаме изброимо безкрайна редица от несъвметими събития $E_1, E_2, \cdots E_n$.
Вероятността на тяхното обединение се дава по следния начин:
$P(\sum_{i=1}^{\infty}{E_i}) = \sum_{i=1}^{\infty}P(E_i)$

Впрочем, горното работи и за краен брой несъвместими събития.

Алгебра на вероятностите

Помните ли какво е Алгебра от курса по… Алгебра?
Можем да си дефинираме такова нещо и тук, използвайки следните правила:

  • Празното множество и пространството от изходите са в алгебрата.

$\Omega ,\varnothing \in A$

  • Ако нещо е в алгебрата, то и отрицанието му е в нея.

$a \in A \leftrightarrow \bar{a} \in A$

  • Алгебрата е затворена относно обединение и сечение.

$a \in A, b \in A \rightarrow a \cup b \in A$
$a \in A, b \in A \rightarrow a \cap b \in A$

Сигма клас

Дефиниция

Ако имаме алгебра на вероятностите $A$.
Тогава сигма клас дефинираме така $\mathcal{F} = \sigma(A)$

  • Празното множество и пространството от изходите са в $\mathcal{F}$.

$\Omega ,\varnothing \in \mathcal{F}$

  • Ако нещо е в сигма класа, то и отрицанието му е в него.

$a \in A \leftrightarrow \bar{a} \in \mathcal{F}$

  • Класът е затворен отностно операцията обединение

$A_1,...,A_n,... \in \mathcal{F} \Rightarrow \cup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}$

Свойства

1.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License