Основи. Теорема на Сард.

Основи


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Основни понятия

Дефиниция: Тройката $(f, \Omega, y)$, наричаме допустима, ако са изпълнени следните:

  • $\Omega \subset \mathbb R^n$ е ограничено отворено множество.
  • $f: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb R^n$, където $\overline{\Omega}$ е затвораната обвивка на $\Omega$
  • $f \in C(\overline{\Omega}, \mathbb R^n)$, т.е. $f$ е с непрекъсната производна над затворената обвивка на $\Omega$
  • $y \not \in f(\partial{\Omega})$ -> (това съотвества на изискването в Болцано, че функцията не трябва да е 0 по границите)

Дефиниция: $d$ се нарича топологична степен, $d: {(f, \Omega, y): f \in C(\overline \Omega), y \in f(\partial \Omega)} \rightarrow \mathbb Z$, ако са изпълнени аксиомите:

  • Нормалност. $y \in \Omega \Rightarrow d(id, \Omega, y) = 1$, където $id$ означава идентитет
  • Локализация. Ако $\Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset$, $\Omega_1 \cup \Omega_2 \subset \Omega$ и $y \not \in f(\overline \Omega \setminus (\Omega_1 \cup \Omega_2))$, то $d(f, \Omega, y) = d(f, \Omega_1, y) + d(f, \Omega_2, y)$.
  • Хомотопична устойчивост. Ако $\exists \mbox{ continuous } h, h:[0, 1] \times \overline \Omega \rightarrow \mathbb R^n$, $\exists \mbox{ continuous } y, y:[0, 1] \rightarrow \mathbb R^n, y(t) \not \in h(t, \partial \Omega) \forall t \in [0, 1]$, то $d(h(t, \cdot), \Omega, y(t))$ не зависи от $t$.

Твърдение: Ако $A \subset \mathbb R^n, f: A \rightarrow \mathbb R^n$, където $A$ е компакт, а $f$ е непрекъснато изображение, тогава съществува $\tilde f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$, такова че $\tilde f$ е непрекъснато навсякъде и $\tilde f \vert_A = f$.

Доказателство:
Нека $A \supset \left \{ a^1, a^2, \cdots \right \}$, където $\left \{ a^1, a^2, \cdots \right \}$ е гъсто в $A$. Дефинираме:

(1)
\begin{eqnarray} & & \phi_i(x) = \max{\{ 2 - \frac{|| x - a^i || }{\rho(x, A)}, 0\}}, x \not \in A \\ & & \rho(x, A) = \inf{\{ ||x - a||: a \in A\}} \end{eqnarray}

Очевидно $0 \leq \phi_i \leq 1$. Дефинираме:

(2)
\begin{eqnarray} & & \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in A\\ \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\phi_i(x)}{2^i}f(a^i)}{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\phi_i(x)}{2^i}}, x \not \in A \end{cases} \end{eqnarray}

$\tilde f$ е добре дефинирана понеже от $\left \{ a^i \right \}$ гъсто в $A$, следва че няма да делим на $0$.
В $A$ и в $\mathbb R \setminus A$ функцията е непрекъсната ($\phi_i$ са непрекъснати).
За произволно $x_0 \in \partial A$ същесвува $\epsilon > 0$, така че:

(3)
\begin{eqnarray} & & || \tilde f(x) - f(x_0)|| = \\ & & \left | \left | \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\phi_i(x)}{2^i}f(a^i)}{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\phi_i(x)}{2^i}} - f(x_0) \right | \right | \leq \\ & & \frac{\epsilon}{2} + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{\phi_i(x)}{2^i} \left | \left | f(a^i) - f(x_0) \right | \right | }{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{\phi_i(x)}{2^i}} \end{eqnarray}
(4)
\begin{eqnarray} a_n = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\phi_i(x)}{2^i} \left | \left | f(a^i) - f(x_0) \right | \right | }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\phi_i(x)}{2^i}} \end{eqnarray}

е сходяща.

Тъй като $f$ е непрекъсната в $A$, за всяко $\epsilon > 0$, можем да намерим $\delta > 0$, така че $y \in A, ||y - x_0|| < 3 \delta : ||f(y) - f(x_0)|| < \frac{\epsilon}{2}$.
От $\phi_i(x) \neq 0$, и от дефиницията на $\phi_i$, следва $||x-a^i||=2\rho(x,A)-\phi_i \rho(x,A)$ откъдето $||x - a^i|| < 2 \rho(x,A)$. За кълбото $||x - x_0|| < \delta$, имаме $\rho(x, A) \leq ||x -x_0|| < \delta$. Следователно от $\phi_i \neq 0$, следва $||x - a^i|| < 2 \delta$, и $||a^i - x_0|| \leq ||a^i -x|| + ||x - x_0|| < 3 \delta$. Това показва, че можем да натъманим (3) < $\epsilon$, за $||x - x_0|| < \delta$. Следователно $\tilde f$ е непрекъсната и твърдението е доказано. $\Box$
Дефиниция: Нека с $||f||_0$, означаваме нормата $sup_{x \in \overline \Omega}{||f(x)||}$
Твърдение:

  1. Ако $f \in C(\overline \Omega)$, $\epsilon > 0$, съществува $g \in \overline C^{\infty}(\Omega), ||f(x) - g(x)|| \leq \epsilon \forall x \in \overline \Omega$, където $\overline C^{\infty}(\Omega)$ е множеството от безкрайно диференцируеми ф-ии в $\Omega$ които са непрекъснати в $\overline \Omega$.
  2. $\Omega_\delta = \left \{ x \in \Omega, \rho(x, \partial \Omega) > \delta \right \} \neq \emptyset , \epsilon > 0$, следва че същесвува $g \in \overline C^{\infty}(\Omega), ||f - g||_0 + sup_{\Omega_\delta}||f'(x) - g'(x)|| < \epsilon$. Т.е. ако се свием малко навътре в кълбото, $g$ може да изпълнява по-силно условие за тях.

Доказателство:
Знаем, че функцията:

(5)
\begin{eqnarray} & & \phi_1(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{1 - ||x||^2}}, ||x|| < 1\\ 0, ||x|| \geq 1 \end{cases} \end{eqnarray}

е безкрайно диференцируема. Да дефинираме функцията $\phi_\alpha(x) = \frac{1}{\alpha^n}\phi_1(\frac{x}{\alpha}), \alpha > 0$. Ясно е, че $\phi_\alpha \in C^{\infty}$, $\int_{\mathbb R^n} \phi_\alpha = 1$ и носителя на $\phi_\alpha = supp \phi_\alpha = \left \{ x \in \mathbb R^n : \phi(x) \neq 0 \right \} = \overline B_\alpha(\mathfrak{0})$. Да дефинираме $f_\alpha(x) = \int_{\mathbb R^n} \tilde f(\xi ) \phi_\alpha(x - \xi) d \xi$, т.е. $f_\alpha$, е конволюция на $\tilde f$, дефинираната в предното твърдение продължение на $f$ и камбанката(изглежда като камбанка) $\phi_\alpha$. Дефинирането на тази функция е с цел "заглаждане" на $f$. Сега да се убедим, че то наистина работи. От теоремата на Лайбниц-Нютон, $f_\alpha(x)$ е безкрайно диференцируемо.

(6)
\begin{eqnarray} & & ||f_\alpha(x) - f(x)|| = \left | \left | \int \limits_{\mathbb R^n} \tilde f(\xi) \phi_\alpha(x - \xi) d \xi - \int \limits_{\mathbb R^n} f(x) \phi_\alpha(x - \xi) d \xi \right | \right | \leq \\ & & \int \limits_{\mathbb R^n} || \tilde f(\xi) - f(x)||\phi_\alpha (x - \xi) d\xi \leq \epsilon \end{eqnarray}

Горното можем да си осигурим, като вземем $\alpha$, достатъчно малко и понеже $\xi \in \overline B_\alpha(x)$, а $\tilde f$ е непрекъснато продължение на $f$, то (5) ще бъде в сила. С това доказахме 1. За да видим 2. е достатъчно да забележим, че: $f'_\alpha(x) = \int_{\mathbb R^n} f'(x+\xi) \phi_\alpha(-\xi)d(x + \xi) = \int_{\mathbb R^n} f'(x+\xi) \phi_\alpha(\xi) d \xi$. $\Box$

Нека $(f, \Omega, y)$, са допустима тройка. От $y \not \in f(\partial \Omega)$ и фактът че $\partial \Omega$, а следователно и $f(\partial \Omega)$ са компакти имаме че $\alpha = \rho(y, f(\partial \Omega)) > 0$. Следователно от горното твърдение, имаме че съществува $g \in \overline C^{\infty}(\Omega)$, такова че $||g(x) - f(x)|| \leq \epsilon < \alpha \forall x \in \overline \Omega$, за някое $0 < \epsilon < \alpha$. Ще докажем, че $d(f, \Omega, y) = d(g, \Omega, y)$.
Да разгледаме $h(t,x) = (1-t)f(x) + tg(x)$. Ако това е хомотопизъм(?) от хомотопичната устойчивост на $d$, ще следва исканото. Очевидно е, че $h$ е непрекъснато, остава да докажем, че $||h(t,x) - y|| \neq 0 \forall x \in \partial \Omega$. Последото отговаря на второто изискване при хомотопичната устойчивост за $y(t) \not \in h(t, \partial \Omega) \forall t \in [0, 1]$. Доказателството е както следва:

(7)
\begin{eqnarray} & & \left | \left | h(t,x) - y \right | \right | = \left | \left | (1-t)f(x) + tg(x) - y \right | \right | = \left | \left| (f(x) - y) - t(f(x) -g(x)) \right | \right | \geq \\ & & \left | \left | f(x) - y \right | \right | - \left | \left | f(x) - g(x) \right | \right | \geq \rho(y, f( \partial \Omega)) - \left | \left | f(x) - g(x) \right | \right | > 0 \end{eqnarray}

Последното неравенство, следва от изборът на $g$.

Дефиниция: Нека е дадена функцията $f \in \overline C^{\infty}(\Omega)$, а $J_{f}(x) = \det f'(x)$ е нейният Якобиан. Нека множеството от критичните точки за $f$, бележим с $S_f = \left \{ x \in \Omega : J_f(x) = 0 \right \}$.

  • Точката $y$ се нарича регулярна стойност, ако $f^{-1}(y) \cap S_f = \emptyset$
  • Точката $y$ се нарича сингулярна стойност, ако $f^{-1}(y) \cap S_f \neq \emptyset$

Теорема на Сард

ТеоремаСард: Нека $\Omega \subset \mathbb R^n$ е отворено множество, а $f \in C^1(\Omega)$ е функция. Тогава $\mu_n(f(S_f)) = 0$, т.е. множеството от стойностите в критичните точки на $f$, е пренебрежимо по Лебег. (с $\mu_n$ означаваме $n$ - мерна Лебегова мярка. )
Доказателство:
Тъй като $\Omega$ е отворено множество, то $\Omega = \bigcup_{k = 1}^{\infty} Q^k$, където $Q^k$ са затворени кубове. Това се вижда лесно като вземем рационалните точки в $\Omega$ и с център всяко $q^i \in \mathbb Q^n$ си вземем куб с радиус по-малък от $\rho(q^i, \mathbb R^n \setminus \Omega)$. Следователно БОО можем да считаме че $\Omega = Q$ е затворен куб. Имаме че $f \in C^1(Q)$, т.е. $f'$ е непрекъсната в компакт, значи и равномерно непрекъсната в него, т.е. $\forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x. \overline x \in Q, ||x - \overline x|| < \delta : ||f'(x) - f'(\overline x)|| < \epsilon$. Следователно:

(8)
\begin{eqnarray} & & \left | \left | f(x) - f(\overline x) - f'(\overline x)(x - \overline x) \right | \right | =\\ & & \left | \left | \int \limits_0^1 f'(\overline x + t(x - \overline x))(x - \overline x) dt - \int \limits_0^1 f'(\overline x)(x - \overline x) dt \right |\right | \leq \\ & & \int \limits_0^1 \left | \left | f'(\overline x + t(x - \overline x)) - f'(\overline x) \right | \right | \left | \left | x - \overline x \right | \right | dt \leq \epsilon \delta \end{eqnarray}

Като за последното неравенство използваме очевидното $||\overline x + t(x - \overline x) - \overline x || = |t|||x - \overline x|| \leq || x - \overline x|| < \delta \forall t \in [0, 1]$. Нека $\rho$ е дължината станата на куба $Q$. Ако разбием всяка негова стена на $m$ кубчета, ще имаме общо $m^n$ кубчета. Нека $\delta = \frac{\sqrt{n} \rho}{m} > 0$ (това е дължината на диагонала на кубчето, т.е. max разстоянието в куба) и $Q = \cup_{k = 1}^{r} Q^k, r = m^n$. Ако $Q^k \cap S_f \neq \emptyset$, то в $Q^k$ има критични точки. Нека $\overline x \in Q^k \cap S_f$, а $g(y) = f(\overline x + y) - f(\overline x)$, за $y \in Q^k \setminus \{ \overline x \}$. Но от (7) имаме $g(y) = f(\overline x + y) - f(\overline x) = f'(\overline x)y + R(x, \overline x)$, $||R(x, \overline x)|| \leq \epsilon \delta$. Ако $f'(\overline x) = A$, то понеже $\overline x$ е критична, имаме $\det A = 0$. Следователно съществува(Защо?) $b^1 \in \mathbb R^n$, $||b^1|| = 1$ и $<Ay, b^1> = 0 \forall y \in Q^k \setminus \overline x$. Нека $b^1, b^2, \cdots, b^n$ е ортонормиран базис в $\mathbb R^n$. Нека $J_k = g(Q^k \setminus \overline x)$. Сега лесно се виждат по-долу написаните неравенства:

(9)
\begin{eqnarray} & & \left |<g(y), b^1> \right | = \left |<Ay + R(x, \overline x), b^1> \right | \leq \left | \left | R(x, \overline x) \right | \right | \left | \left | b^1 \right | \right | \leq \epsilon\delta\\ & & \left |<g(y), b^i> \right | = \left |<Ay + R(x, \overline x), b^i> \right | \leq \left | <Ay, b^i> \right | + \epsilon\delta \leq \left | \left | Ay \right | \right | + \epsilon\delta \leq \left | \left | A \right | \right |\delta + \epsilon\delta = ( \left | \left | A \right | \right | + \epsilon )\delta \leq (C + \epsilon)\delta \end{eqnarray}

Където в последното неравенство $C$ е константата за която $||f'(x)|| < C \forall x \in Q$. Тя съществува, защото $f'$ е непрекъсната в компакт (нормата на матрица е $\max ||Ax||, x \in \mathbb R^n, ||x|| = 1$ :) ). Сега можем да напишем:

(10)
\begin{eqnarray} & & \mu_n(J_k) = (C + \epsilon)^{n-1}\delta^n\epsilon\\ & & \bigcup_{k = 1}^{r} (f(\overline x) + J_k) \supset f(S_f \cap Q)\\ & & \displaystyle \sum_{i = 1}^r \epsilon\delta^n(C+\epsilon)^{n-1} \leq \epsilon m^n \frac{(\sqrt{n}\rho)^n}{m^n}(2C)^{n-1} = \epsilon D, D = const \end{eqnarray}

Като използвахме $r = m^n$. Горното доказва, че сумарната мярка на стойностите от критичните точки може да бъде направена произволно малка. $\Box$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License