Движение под действие на централни сили.Задача на Кеплер. Задача за двете тела.

Движение под действие на централни сили.Задача на Кеплер. Задача за двете тела.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Централна сила

Нека на материална точна да действа сила $F$, чиято големина е функция само на разстоянието $r$ от определена точка $O$ до позицията $P$ на точката и посоката на силата е еднаква или противоположна на векторът $\overrightarrow{OP}$. Казваме че частицата е под действие на централна сила, а точката $O$ наричаме център на силата.
В почти всички случай точката $O$ съвпада с центъра на избраната координатна система.

Потенциална сила

Силата $F$ ще наричаме потенциална сила, ако съществува $V(x,y,z) = V(r)$ такава, че
$F = -grad V = -(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y},\dfrac{\partial V}{\partial z})$

Лема за движение под действие на централна сила

Ако $\overrightarrow{F}$ е централна, то $\overrightarrow{r}x\overrightarrow{v} = \overrightarrow{c}$ е пръв интеграл. Тоест векторното произведение е на векторът определящ позицията на точка и скоростта на материалната точка е константа.

Доказателство:
Имаме
$\overrightarrow{r}\times \dfrac{d^2 \overrightarrow{r}}{d t^2} = \dfrac{d}{d t} \big( \overrightarrow{r} \times \dfrac{d \overrightarrow{r}}{d t} \big)$
(от дефиницията за производна на вектор)
Също така имаме
$\overrightarrow{r}\times \dfrac{d^2\overrightarrow{r}}{d t} = 0$
(защото векторите са колинеарни)
тогава
$\dfrac{d}{d t} \big( \overrightarrow{r} \times \dfrac{d \overrightarrow{r}}{d t} \big) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{r} \times \dfrac{d \overrightarrow{r}}{d t} = \overrightarrow{c}$
Иначе казано движението под действие на централна сила е в равнина, перпендикулярна на $\overrightarrow{c}$

Движение под действието на централна потенциална сила

$m \ddot{r} = -grad V(|r|)$
Имаме първите интеграла: интеграл за запазване момента на импулса
$r \times \ddot{r} = c$
и интеграл за запазване на енергията
$\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2+V(r) = h$
БОО можем да смятаме, че движението става в равнината $O_{xy}$
Тогава първите интеграли приемат вида
$(\dot{x}y-y\dot{x}) = c$
$\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+V(\sqrt{x^2+y^2}) = h$
Въвеждаме полярни координати
$x=r\cos \varphi, y = r \sin\varphi$
тогава
$\dot{x}=\cos\varphi\dot{r}-r\sin\varphi\dot{\varphi}, y =\sin\varphi\dot{r}+r\cos{\varphi}\dot{\varphi}$
Сега записваме интегралите
$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+\dot{r}^2 \varphi^2)+V(r) = h$
$r^2\dot{\varphi}=c$
И така
$\dfrac{m(\dot{r}^2+\frac{c^2}{r^2})}{2} -\gamma \dfrac{m_1m_2}{r} = h$
като използваме, че $m=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ получаваме уравнението в следния вид
$\dot{r}+\frac{c^2}{r^2} - 2\gamma\frac{m_1+m_2}{r} = \frac{h}{m} (*)$

От $r^2\dot{\varphi} = c$ и фактът че лицето на криволинеиният сектор, който замита движещата се частица се получава от следния интеграл
$S= \dfrac{1}{2}\int_{t_1}^{t2}r^2d\varphi = \dfrac{1}{2}\int_{t_1}^{t2}r^2\dot{\varphi}dt = \dfrac{1}{2}\int_{t_1}^{t2}cdt$
$S = \frac{c}{2}(t_2-t1)$
тоест получаваме втория закон на Kеплер за равни интервали от време, частицата замита равни по площ сектори.
Но нека се върнем на търсенето на $r$.
Директно намиране от последното уравнение $(*)$ е трудно, за това ще използваме теоремата на "умен съм бил сетил съм се"
от $r^2\dot{\varphi} = c$ следва
$\dfrac{d \ r}{d \ t } = \dfrac{d \ r}{d \ \varphi }\dfrac{d \ \varphi}{d \ t } = \dfrac{c}{r^2} \dfrac{d \ r}{d \ \varphi } = -c \dfrac{d }{d \ \varphi }\dfrac{1}{r}$
И сега заместваме намереното в $(*)$
$\dfrac{m}{2}(\dfrac{c^2}{r^2}(\dfrac{dr}{d \varphi})+\dfrac{c^2}{r^2}) - \gamma\dfrac{m_1m_2}{r} = h$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License