Дефиниция на линия. Смяна на параметъра. Дължина на дъга

статията се нуждае от дописване и редактиране!


Векторна функция

Дефиниция
Векторната функция на скаларен аргумент $q \in J$ е изображение, при което всяко $q$ от интервала $J \subset R$ се съпоставя вектор $\varphi(q)$.
Задаването на векторна функция $\varphi(q)$ в $R^3$ е еквивалентно на задаването на три скаларни функции - координатните функции на $\varphi(q)$, които ще бележим с $\varphi^i(q), i=1,2,3$.
$\varphi(q)(\varphi^1(q), \varphi^2(q), \varphi^3(q))$
Представяне на вектора $\varphi(q)$ в ортонормирана координатна система $K=O\vec{e_{1}}\vec{e_{2}}\vec{e_{3}}$:
$\vec{OP}=\varphi^1(q)\vec{e_{1}}+\varphi^2(q)\vec{e_{2}}+\varphi^3(q)\vec{e_{3}}$
Забележка:
Векторната функция се диференцира и интегрира по координатно.
Векторната функция е непрекъсната, ако за координати имаме непрекъснати функции.

Линия

Дефиниция
Линия се нарича еднопараметрична съвкупност от точки.
Всяко непрекъснато изображение $x: J \rightarrow R^3$ се нарича параметризирана линия(път) в $R^3$.
Съвкупността $c: x(J)= \{ P \in R^3 : \vec{OP} = x(q), q \in J\}$ е носител на параметризираната линия.

Аналитично задаване на линия
Точките от $c$ и тези само от $c$ удовлетворяват векторно параметричното уравнение $c: x = x(q), q \in J$
(където $x$ е непрекъсната векторна фунцкия на скаларен аргумент $q$)

(1)
\begin{eqnarray} c :\begin{cases} x^1 = x^1(q)\\x^2 = x^2(q)\\x^3 = x^3(q)\end{cases} , q \in J \end{eqnarray}

- скаларни (координатни) параметрични уравнения на линията $c$

Дефиниция

  • Параметризираната линия $x$ се нарича проста, ако изображението $x$ е инекция т.е. $q_{1} \neq q_{2} \in J \Rightarrow x(q_{1}) \neq x(q_{2})$.
  • Параметризираната линия $x$ се нарича равнинна, ако съществува равнина, която съдържа носителя й.
  • Параметризираната линия $x$ се нарича n-кратно гладка, $n \geqq 1$, ако векторната функция $x(q)$ има непрекъснати производни до n-ти ред, т.е. $x(q) \in C^n(J)$, и $\dot{x}(q)=\tfrac{dx}{dq} \neq 0$ за всяко $q \in J$

Забележка:
От гладкостта на векторната функция $x(q)$, т.е. $x(q) \in C^n(J), n \geqq 1$, не следва, че параметризираната крива $x$ е гладка. Например векторната функция $x(q^3,q^2,0) \in C^{\infty} (R)$, докато параметризираната линия (семикубична парабола), определена от нея, не е гладка, тъй като при $q = 0$, $\dot{x}(q) = 0$ и има рогова точка в O.

Дефиниция
Една параметризирана линия $x: J \rightarrow R^3$ може да има както точки, в които векторът $\dot{x}(q)$ е различен от нулев - гладки, така и точки, в които е нулев - особени (негладки).

Теорема 1
Имаме кривата $x: J \rightarrow R^3$, която е гладка и параметризирана и $q_0 \in J$ - произволна точка от интервала $J$. Съществува подинтервал $J_0$ на $J$, съдържащ $q_0$, такъв че изображението $x|_{J_0} : J_0 \rightarrow c_0 = x|_{J_0}(J_0)$ е хомоморфизъм1.

Теорема 2
Нека $x: J \rightarrow R^3$ е гладка параметризирана линия и $q_0$ е произволна точка от $J$. Съществува подинтервал $J_0$ на $J$, съдържащ $q$, такъв че частта $c_0 = x|_{J_0}(J_0)$ може да се представи с параметрични уравнения, в които параметър е една от координатите.

Смяна на параметъра

Теорема 3
Нека $x: J \rightarrow R^3$ е параметризирана линия и изображението $\mu : \tilde{J} \rightarrow J$, зададено с равенството $q = \mu(\tilde{q})$ е сюрекция, като $\tilde{J} \subset R$ е интервал. Ако в уравнението $c: x = x(q), q \in J$ заместим $q$ с $\mu(\tilde{q})$ получаваме ново уравнение на линията $\tilde{c}: \tilde{x} = \tilde{x}(\tilde{q})$, като сме положили $\tilde{x}(\tilde{q}) = x(\mu(\tilde{q}))$. Ако това е направено, казваме, че сме извършили смяна на параметъра $q$ с нов параметър $\tilde{q}$ чрез $q = \mu(\tilde{q})$.

Забележка:
Ако изображението $\mu : \tilde{J} \rightarrow J$ е непрекъснато, т.е. скаларната функция $\mu(\tilde{q})$ е непрекъсната, то изображението $\tilde{x} = x \circ \mu: \tilde{J} \rightarrow R^3$ е параметризирана линия. В този случай, казваме, че тази параметризираната линия $\tilde{x} = x \circ \mu: \tilde{J} \rightarrow R^3$ е получена от параметризираната линия $x: J \rightarrow R^3$ чрез смяната $q = \mu(\tilde{q}), \tilde{q} \in \tilde{J}$ на параметъра. Изображенията $x$ и $\tilde{x}$ са различни, но носителите $c$ и $\tilde{c}$ на параметризираните линии (т.е. точковите съвкупности) съвпадат.
Казваме, че смяната е n-кратно гладка ($n \geq 1$), ако функцията $\mu(\tilde{q}) \in C^n(\tilde{J})$ и $\dot{\mu}(\tilde{q}) = \frac{d\mu}{d\tilde{q}} \neq 0$

Теорема 4
Ако параметризираната линия $x: J \rightarrow R^3$ и смяната $q = \mu(\tilde{q})$ са гладки, то и параметризираната линия $\tilde{x} = x \circ \mu: \tilde{J} \rightarrow R^3$ е гладка.

Доказателство:
$\dot{\tilde{x}}(\tilde{q}) = \frac{dx(\mu(\tilde{q}))}{d\mu(\tilde{q})} * \frac{d\mu(\tilde{q})}{d\tilde{q}} = \frac{dx(q)}{dq} * \frac{d\mu(\tilde{q})}{d\tilde{q}} = \dot{x}(q) * \dot{\mu}(\tilde{q}) \neq \vec{0}$

Дължина на дъгата

Дефиниция
Нека е дадена линията $c: x = x(q), q \in J = (q', q'')$ и нека точките $q_1, q_2, ..., q_n \in J$ като $q_1 < q_2 < ... < q_n$. Начупената линия $L = P_1P_2\cap P_2P_3\cap ...\cap P_{n-1}P_n$, чиито върхове $P_i = x(q_i) \in c, i = 1,...,n$, се нарича вписана в линията $c$.

Дефиниция
Точната горна граница $s(c)$ на дължините на всевъзможните начупени линии в $c$, т.е. $s(c) = sup_{L} \sigma(L)$, където със $\sigma(L)$ е означена дължината на произволна начупена линия $L$ в $c$, наричаме дължина на линията.

Теорема 5
Ако $x(q) \in C^1(J)$ (първата производна на $x$ е непрекъсната), то $s(c) = \int_{q'}^{q''} \sqrt{(\dot{x}(q))^2}dq$.

Забележка:
Имаме векторна функция $x(q)(x^1(q),x^2(q),x^3(q))$. Нейната дължина в интервала $(q', q'')$ може да се изрази:

(2)
\begin{eqnarray} L = \int_{q'}^{q''} \sqrt{({x^1}'(q))^2 + ({x^2}'(q))^2 + ({x^3}'(q))^2 } \end{eqnarray}

или

(3)
\begin{eqnarray} L = \int_{q'}^{q''} \sqrt{(\frac{dx^1}{dq})^2+ (\frac{dx^2}{dq})^2 + (\frac{dx^3}{dq})^2} dq \end{eqnarray}

или за по-кратко

(4)
\begin{eqnarray} L = \int_{q'}^{q''} \sqrt{(\dot{x}(q))^2}dq \end{eqnarray}

Числото $s(q',q'') = \int_{q'}^{q''} \sqrt{(\dot{x}(q))^2}dq$ се нарича дължина на дъгата от точка $q'$ до точка $q''$.

Теорема 6
Дължината на дъгата е инварианта2 при движение, при смяна на координатната система в $R^3$ и инвариантна до знак при гладка смяна на параметъра.

Доказателство:

  1. Инвариантна при движение

Имаме матрица $A$, която е ортогонална и $det(A) = 1$. Тази матрица предизвиква движение, при което новата крива $\tilde{c}: \tilde{x} = A. x$ или $\tilde{x}^i = a^i + {a_1}^i x^1(q) + {a_2}^i x^2(q) + {a_3}^i x^3(q), i=1,2,3$.
Векторът $\dot{x}(q)$ се трансформира във векторът $\dot{\tilde{x}}(q)$ и се запазва скаларното произведение.
$\tilde{s}(a, b) = \int_{a}^{b} \sqrt{(\dot{x}(q))^2}dq = s(a, b)$

  1. Инвариантна при смяна на координатната система

Нека $K'=O\vec{{f_1}'}\vec{{f_2}'}\vec{{f_3}'}$ е нова координатна система. Спрямо нея радиус векторът на произволна точка от $c$ е $\tilde{x} = x+ \vec{O'O}$. Тогава $\dot{\tilde{x}} = \dot{x}$ и следователно и $\tilde{s}(a, b) = s(a, b)$.

  1. Инвариантна при гладка смяна на параметъра:

Нека направим гладка смяна $q = \mu(\tilde{q}), \tilde{q} \in \tilde{J}$, където $a = \mu(\tilde{a}), b = \mu(\tilde{b})$ Тогава за линията $c$ получаваме друга параметризация: $c : \tilde{x} = \tilde{x}(\tilde{q}), \tilde{q} \in \tilde{J}$, където $\tilde{x}(\tilde{q}) = x(\mu(\tilde{q}))$.
Разглеждаме $\dot{\tilde{x}}(\tilde{q}) = \frac{dx(\mu(\tilde{q}))}{d\mu(\tilde{q})} * \frac{d\mu(\tilde{q})}{d\tilde{q}} = \frac{dx(q)}{dq} * \frac{d\mu(\tilde{q})}{d\tilde{q}} = \frac{dx}{dq} * \frac{dq}{d\tilde{q}}$.
Оттук имаме $\tilde{s}(\tilde{a}, \tilde{b}) = \int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} \sqrt{(\dot{\tilde{x}})^2}d\tilde{q} =\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}} \sqrt{(\dot{x})^2} |\frac{dq}{d\tilde{q}}|d\tilde{q} = \varepsilon \int_{a}^{b} \sqrt{(\dot{x})^2} \frac{dq}{d\tilde{q}}\frac{d\tilde{q}}{dq} = \varepsilon \int_{a}^{b} \sqrt {(\dot{x})^2}dq$
$\tilde{s} = s, \varepsilon = sgn \frac{dq}{d\tilde{q}} = \pm 1$
Съответните дъги в еквивалентните параметризирани линии имат до знак еднакви дължини. Различават се само по посоката на растене на параметъра $\tilde{q}$ върху $c$, която е същата ($\varepsilon = +1$) или обратна ($\varepsilon = -1$) на тази на $q$.

Дефиниция
Нека линията $c: x = x(q), q \in J = (q', q'')$ е гладка и $P_0 = x(q_0)$ е фиксирана точка от $c$. Ако $P = x(q)$ е произволна точка от $c$, то дължината на дъгата от $P_0$ до $P$ е $s(q) = \int_{q}^{q_0} \sqrt{(\dot{x})^2}dq$. От гладкостта $\dot{s}(q) = \sqrt{(\dot{x})^2} \neq 0$. Оттук следва, че изображението $s : J \rightarrow S = {s(q) \in R^1: q \in J}$ е биекция. Тогава имаме обратната функция $q(s)$ на $s(q)$. Можем да направим гладка смяна на параметъра $q = q(s)$. Получаваме $c : \tilde{x} = \tilde{x}(s), s \in S$, където $s$ е дължината на дъгата мерена от точката $P_0 = x(q_0)$ на $c$.
Параметърът $s$, определен от $s(q) = \int_{q}^{q_0} \sqrt{(\dot{x})^2}dq$, се нарича естествен параметър на линията.

Теорема 7
Нека линията $c$, зададена с уравнение $c: x = x(q), q \in J = (q', q'')$. Параметърът $q$ е естествен за нея тогава и само тогава, когато $(\dot{x})^2 = 1, \forall q \in J$.

Доказателство:
а) Нека $q$ е естествен параметър на $c$.
Тогава от $s = q = \int_{q}^{q_0} \sqrt{(\dot{x})^2}dq$ чрез диференциране получаваме $1 = \sqrt{(\dot{x})^2}$ т.е. $(\dot{x})^2 = 1$.
б) Нека $(\dot{x})^2 = 1$ за всяко $q \in J$.
Тогава за дължината $s$ на дъгата от $P_0 = x(q_0)$ до $P = x(q)$ получаваме $s = \int_{q}^{q_0} \sqrt{(\dot{x})^2} = q - q_0, q = s + q_0$ т.е. $q$ е дължината на дъгата $\widehat{P_0P}$. Ако $J$ съдържа нулата, то можем да изберем $q_0 = 0$ и ще имаме $q = s$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License