Тема 9

Теорема за вложените кълба и теорема на Бер


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Теорема за вложените кълба

Теорема: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е пълно метрическо пространство. Дефинираме следните затворени кълба $\bar B_{x_n, r_n} \quad n \in \mathbb N$. Ако:

  • $\bar B_{x_n, r_n} \supset \bar B_{x_{n+1}, r_{n+1}}$
  • $r_n \to 0$

Тогава

(1)
\begin{align} \exists! x_0 \in \bigcap_n \bar B_{x_n, r_n} \end{align}

Или другояче казано, ако има редица от затворени вложени кълба, чиито радиуси клонят към 0, съществува единствена точка, принадлежаща на сечението им.

Доказателство:
Ще докажем че редицата $\{ x_n \}$ е фундаментална и че нейната граница $x_0$ принадлежи на всички кълба.
За всяко $\epsilon > 0$ съществува $n_0 : r_{n_0} < \frac{\epsilon}{3}$. Очевидно при $n, m \ge n_0 \Rightarrow \rho(x_n, x_m) \le \rho(x_n, x_{n_0}) + \rho(x_{n_0}, x_m) \le 2\frac{\epsilon}{3} < \epsilon$. (това е вярно защото всички центрове на кълба след $n_0$ са във кълбото $\bar B_{x_{n_0}, r_{n_0}}$)
С това показахме, че редицата е фундаментална. От дефиницията за пълно метрическо пространство получаваме $\exists x_0 : \{ x_n \} \to x_0$.
Сега ще докажем, че $x_0 \in \bar B_{x_n, r_n} \quad \forall n \in \mathbb N$.
Допускаме противното. Т.е $\exists n_0 : x_0 \notin B_{x_{n_0}, r_{n_0}}$. Но така получаваме (поради влагането), че $\forall n \ge n_0 \Rightarrow x_0 \notin \bar B_{x_n, r_n}$. Това означава че в околност $B_{x_0, \rho(x_0, x_{n_0}) - r_{n_0}}$ на $x_0$ има само краен брой членове на редицата (всички с индекс по-малък от $n_0$). Противоречие със $\{ x_n \} \to x_0$. Следователно $x_0 \in \bar B_{x_n, r_n} \quad \forall n \in \mathbb N$. T.e

(2)
\begin{align} x_0 \in \bigcap_n B_{x_n, r_n} \end{align}

Допускаме, че има и друга точка $x_0' \in \bigcap B_{x_n, r_n}$.Тогава

(3)
\begin{align} \rho(x_0, x_0') \le \rho(x_0, x_n) + \rho(x_n, x_0') \le 2r_n \quad \forall n \in \mathbb N \end{align}

Тъй като $r_n \to 0$, то излиза и $\rho(x_0, x_0') = 0$, т.е $x_0 = x_0'$.

Дефиниция: Никъде не гъсто множество $F$ за някое множество $X$ е такова, за което $X \setminus F$ е навсякъде гъсто в $X$.
Дефиниция(множество 1ва категория): Едно множество е от 1ва категория aко може да се представи като обединение на не по-вече от изброимо много затворени, никъде не гъсти негови подмножества.
Пример(множество 1вакатегория): В $\mathbb R^2$ разгледайте множеството състоящо се от прави с рационален ъглов коефициент, минаващи през началото на координатната система.
Дефиниция(множество 2ра категория): Едно множество е от 2ра категория ако не е от 1ва.

Теорема(на Бер): Всяко пълно метрическо пространство е множество 2ра категория.
Доказателство: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е пълно метрическо пространство.
Да допуснем, че то е 1ва категория. Тогава може да се намери не повече от изброима система затворени множества $\{ F_n \}$ които са никъде не гъсти във $X$.
Да разгледаме $F_1$. Тъй като то не е навсякъде гъсто във $X$ (това е по-слабо от никъде не гъсто), то съществува точка $x_1$ и отворено къбло $B_{x_1, r_1}$, такива че $B_{x_1, r_1} \cap F_1 = \varnothing$. От тук съществува затворено кълбо $\bar B_{x_1, \frac{r_1}{2}} = B_1$ което няма общи точки с $F_1$. Tъй като $B_1 \subset X$ и $X$ e пълно метрическо, то и $B_1$ е пълно метрическо (затворено подмножество на пълно метрическо е пълно метрическо). Да разгледаме $\{ F_n \}$ и $B_1$:

  • $\{ F_n \}$ са никъде не гъсти в $B_1$ (ако за някое подмножество $U \subset B_1$ са гъсти то и за същото подмножество ще са гъсти и в $X$)
  • $\{ F_n \}$ покриват $B_1$, защото покриват $X$.

Сега по абсолютно аналогичен начин избираме точка $x_2 \in B_1$ и затворена нейна околност $B_2$ (която не се пресича със $F_2$ и чиито радиус е < $\frac{r_1}{4}$ - за да гарантираме че радуисите на кълбата ще клонят към 0 ), за която са изпълнени същите условия, като за $B_1$.

Така си конструирахме не повече от изброима редица от затворени вложени кълба $\{ B_n \}$. Според предходната теорема те имат непразно сечение. Нека $x_0 \in \bigcap B_n$. Тогава $x_0 \notin \bigcup F_n$, т.е $\{ F_n \}$ не покриват точка $x_0 \in X$. Противоречие с допуснатото.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License