Тема 8

Пълни метрически пространства. Теорема за полълнение.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Фундаментални редици

Дефиниция(фундаментална редица): Една редица $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$ се нарича фундаментална, ако

(1)
\begin{align} \forall \epsilon > 0,\ \exists n_0 : \forall n_1, n_2 \ge n_0 \Rightarrow \rho(x_{n_1}, x_{n_2}) < \epsilon \end{align}

Читателя може да познае дефиницията като принцип за сходимост на Коши. Важното в случая е, че в нея не се споменава за наличието на граница. Точно по това ще разделим пълните от непълните множества.

Твърдение: Всяка сходяща редица е фундаментална.
Доказателство: Нека $\{ x_n \}_{1}^{+\infty} \to x_0$. Ще докажем, че е фундаментална.
$\forall \epsilon > 0\ \exists n_0 : \forall n \ge n_0 \Rightarrow \rho(x_n, x_0) < \frac{\epsilon}{2}$
$\Rightarrow \forall \epsilon > 0\ \exists n_0 : \forall n_1, n_2 \ge n_0 \Rightarrow \rho(x_{n_1}, x_{n_2}) \le \rho(x_{n_1}, x_0) + \rho(x_0, x_{n_2}) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

Пълно метрическо пространство

Дефиниция(пълно метрическо пространство): Едно метрическо пространство $\langle X, \rho \rangle$ се нарича пълно, ако всяка фундаментална редица в него е сходяща.
Заб: Интуитивно е ясно, че щом редицата е фундаментална има граница (все пак фундаменталност е сходимост по Коши). При пълните множества обаче границата на редицата е вътре във самото множество.

Дефиниция(изометрия): Две метрически пространства $\langle X, \rho_X \rangle$ и $\langle Y, \rho_Y \rangle$ се наричат изометрични, ако съществува биекция $f : X \to Y$, такава че $\rho_X(x_1, x_2) = \rho_Y(f(x_1), f(x_2)) \quad \forall x_1, x_2 \in X$.

Теорема(за попълване на метрическо пространство до пълно):
Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство. Тогава съществува единствено $\hat X$ с точност до изометрия за което

  1. $X \subset \hat X$ и е навсякъде гъсто в него
  2. $f : X \to \hat X$ е изометрия.

Доказателство:
Ще построим $\hat X$ и ще докажем, че в него всички фундаментални редици са сходящи. Т.е за всяка фундаментална редица ще намерим нейната граница, която ще се окаже във множеството.
Образуваме си множеството $\Sigma$ от всички фундаментални редици в $X$:
$\Sigma = \{ \{ x_n \} | x_n \in X \And \{ x_n \} - \mbox{ fund.} \}$
Въвеждаме релацията $\sim$ (еквивалентност) между елементите на $\Sigma$:

(2)
\begin{align} \bar x \sim \bar y \iff \rho(x_n, y_n) \overset{n\to\infty}\longrightarrow 0 \quad \bar x, \bar y \in \Sigma \And \bar x = x_1, x_2, \cdots \ \bar y = y_1, y_2, \cdots \end{align}

Трябва да се докаже, че това е релация на еквивалентност.!

Факторизираме $\Sigma$ посредство релацията (т.е разбиваме на множества на еквивалентност). Нека $\hat X$ е множеството от класовете на еквивалентност. Т.е $\forall \hat x \in \hat X \Rightarrow \hat x$ - клас на еквивалентност.

  • съществува инекция $f : X \to \hat X$, защото за всеки елемент $x \in X$ съществува редица $x, x, \cdots, x, \cdots$ и съответно нейния клас на еквивалентност е във $\hat X$. Не може 2 редици да са от един клас, защото разстоянието между тях е строго положително.
  • Дефинираме си метрика във $\hat X$ по следния начин:
(3)
\begin{align} \rho(\bar x, \bar y) = \lim_{n \to \infty} \rho(x_n, y_n) \end{align}

където $\{ x_n \}, \{ y_n \}$ са представители на $\bar x, \bar y$.
Ще докажем, че така дефинираната метрика не зависи от избора на представител!
Очевидно ако $\{ x_n' \}, \{ x_n'' \}$ са представители на $\bar x$ и $\{ y_n' \}, \{ y_n'' \}$ са представители на $\bar y$, то

(4)
\begin{eqnarray} & & \rho(x_n', y_n') \le \rho(x_n', x_m'') + \rho(x_m'', y_n') \le \rho(x_n', x_m'') + \rho(x_m'', y_m'') + \rho(y_m'', y_n') \quad \forall n, m \\ & & \rho(x_m'', y_m'') \le \rho(x_m'', x_n') + \rho(x_n', y_m'') \le \rho(x_m'', x_n') + \rho(x_n', y_n') + \rho(y_n', y_m'') \quad \forall n, m \\ \end{eqnarray}

Т.е при $n, m \to \infty$ получаваме че $\rho(x_n', y_n') = \rho(x_m'', y_m'')$, т.е че метриката не зависи от представителите.

Ще докажем, че всяка фундаментална редица е сходяща.
Нека $\{ \hat x_p \}$ е произволна фундаментална редица.
Да изберем по един специален представител от всеки нейн член и да ги запишем в табличка:

(5)
\begin{matrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,p} & \cdots & \quad \in \hat x_1 \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,p} & \cdots & \quad \in \hat x_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \\ x_{p,1} & x_{p,2} & \cdots & x_{p,p} & \cdots & \quad \in \hat x_p \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \\ \end{matrix}

Първо ще обясня какво значи специален: Тъй като всички представители са фундаментални редици, клонящи към едно и също нещо то всяка фундаментална подредица на даден представител е от същия клас. Нека $x_1, x_2, \cdots x_n, \cdots$ е произволен представител на някой клас. Тогава избираме подредица $x_{n_1}, x_{n_2}, \cdots, x_{n_k}, \cdots$ за която е изпълнено $\forall i, j > i : \rho(x_{n_i}, x_{n_j}) < \frac{1}{i}$. Такъв представител може лесно да изберем по следната формула : $\forall \epsilon_i = \frac{1}{i} \Rightarrow n_i = n_0^{\epsilon_i}$. Т.е взехме епсилони $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots$ и техните n_0 ги кръстихме $n_i$.
С това показахме, че за всеки клас $\hat x_p$ може да си изберем представител $\{ x_{p,n} \}$, за който $\forall i, j > i : \rho(x_{p,i}, x_{p,j}) < \frac{1}{i}$. Написваме точно тези представители в горната таблица.

Сега разбира се избираме редицата $x_{1,1}, x_{2,2}, \cdots, x_{n,n}, \cdots$. Ще докажем, че тя е:

  • фундаментална
  • класа в който тя принадлежи е граница на редицата $\{ \hat x_p \}$.

Да разгледаме $\rho(x_{n,n}, x_{m,m})$ за произволни $n, m, k$:

(6)
\begin{align} \rho(x_{n,n}, x_{m, m}) \le \rho(x_{n,n}, x_{n,k}) + \rho(x_{n,k}, x_{m,k}) + \rho(x_{m,k}, x_{m,m}) \end{align}

Ще докажем, че при достатъчно големи $n, m$ и специално подбрано $k$ горният израз е по-малък от произволно избрано $\epsilon$.
Идея: За целта ще изберем произволен епсилон ($\epsilon_0$), и за него ще покажем как се изчислява долна граница за $n, m$ ($n_0$). Тази долна граница ще гарантира, че от една страна, $\rho(x_{n,n}, x_{n,k}), \rho(x_{m,k}, x_{m,m})$ са достатъчно малки ($n_0'$), и от друга страна че съществува $k$, за което и $\rho(x_{n,k}, x_{m,k})$ е достатъчно малко ($n_0'', k(n, m)$).

Да фиксираме произволно $\epsilon_0 > 0$.
Дефинираме $n_0'$ по следния начин (съществуването му идва от специалния избор на представители, а имменно, че долната граница за различните епсилон не зависи от индекса на редицата):

(7)
\begin{align} n_0' \in \mathbb N \And n_0' > \frac{3}{\epsilon_0} \Rightarrow \frac{1}{n_0'} < \frac{\epsilon_0}{3} \Longrightarrow \forall r & \forall n, m > n_0' : \rho(x_{r,n}, x_{r,m}) < \frac{\epsilon_0}{3} \end{align}

Дефинираме $n_0''$ по следния начин (съществувавнето му се гарантира от фундаменталността на $\{ \hat x_p \}$). Съществуването на $k$ е от дефиницията за $\lim$:

(8)
\begin{align} n_0'' : \forall n, m > n_0'' \Rightarrow \rho(\hat x_n, \hat x_m) < \frac{\epsilon_0}{6} \Rightarrow \lim_{k \to +\infty} \rho(x_{n,k}, x_{m,k}) < \frac{\epsilon_0}{6} \Rightarrow \exists k(n, m) : \rho(x_{n,k(n,m)}, x_{m,k(n,m)}) < \frac{\epsilon_0}{3} \end{align}

Избираме $n_0 = \max \{ n_0', n_0'' \}$
При $n, m > n_0 \And k > k(n, m)$ получаваме:

(9)
\begin{align} \rho(x_{n,n}, x_{m,m}) < \frac{\epsilon_0}{3} + \frac{\epsilon_0}{3} + \frac{\epsilon_0}{3} = \epsilon_0 \end{align}

С което доказахме, че редицата $\{ x_{p, p} \}$ е фундаментална! Следователно е от $\Sigma$ и e представител за някое $\hat x_0 \in \hat X$.

Сега ще докажем, че ако $\{ x_{p, p} \}$ е представител на $\hat x_0$ то $\{ \hat x_p \} \to \hat x_0$, с теоремата е доказана (защото всяка фундаментална редица ще си има граница).

Заб: Буквите, които ще използваме от тук нататък нямат нищо общо с буквите от доказателството на $\{ x_{p, p} \}$ фундаментална. (освен променливите $x_{i,j}$ от таблицата).
Идея: Ще докажем, че за произволно избран $\epsilon_0 > 0$ съществува долна граница $n_0$, такава че при $n > n_0$ е изпълнено $\rho(\hat x_n, \hat x_0) < \epsilon_0$. Това е еквивалентно на $\lim_{m \to \infty} \rho(x_{n,m}, x_{m,m}) < \epsilon_0$.

Да разгледаме $\rho(x_{n,m}, x_{m,m})$. За произволни $n, m, k$:

(10)
\begin{align} \rho(x_{n,m}, x_{m,m}) \le \rho(x_{n,m}, x_{n,k}) + \rho(x_{n,k}, x_{m,k}) + \rho(x_{m,k}, x_{m,m}) \end{align}

Фиксираме произволно $\epsilon_0 > 0$.
Нека $n_0'$ е такова, че (съществуването му се гарантира от специалния избор на представители - като по-горе):

(11)
\begin{align} \forall r\forall n, m > n_0' \Rightarrow \rho(x_{r,n}, x_{r,m}) < \frac{\epsilon_0}{3} \end{align}

Нека $n_0''$ е такова, че

(12)
\begin{align} \forall n, m > n_0'' \Rightarrow \rho(\hat x_n, \hat x_m) < \frac{\epsilon_0}{6} \iff \lim_{k \to +\infty} \rho(x_{n,k}, x_{m,k}) < \frac{\epsilon_0}{6} \Rightarrow \exists k(n,m) : \rho(x_{n, k(n,m)}, x_{m,k(n,m)}) < \frac{\epsilon_0}{3} \end{align}

Сега вече избираме $n_0 = \max\{ n_0', n_0'' \}$ и $\forall n, m \ge n_0$ и $k(n, m) \ge n_0$ (винаги може да го гарантираме):

(13)
\begin{eqnarray} \rho(x_{n,m}, x_{m,m}) &\le& \rho(x_{n,m}, x_{n,k(n,m)}) + \rho(x_{n,k}, x_{m,k}) + \rho(x_{m,k}, x_{m,m}) \\ &<& \frac{\epsilon_0}{3} + \frac{\epsilon_0}{3} + \frac{\epsilon_0}{3}\\ &=& \epsilon_0 \end{eqnarray}

с което всъщност доказахме, че при $n \ge n_0$ $\lim_{m \to \infty} \rho(x_{n,m}, x_{m,m}) \le \epsilon_0$ (защото горният израз е верен за произволно голямо $m$, т.е във граничния случай може да се достигне равенство).
От тук $\forall n > n_0 : \rho(\hat x_n, \hat x_0) \le \epsilon_0$. (сега разбира се $< \epsilon_0$ може формално да се получи, ако на всяко място се положи $\epsilon_0 = \frac{\epsilon_0}{2}$, но го видях много късно :)).

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License