Тема 7

Компактност . Секвенциална компактност


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Компактност

Дефиниция(за компактност):
Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е топологическо пространство. $X$ е компактно, ако от всяко негово отворено покритие можем да изберем крайно подпокритие.
Дефиниция:
Едно множество $K \subset X$ от топологично пространство е компактно, ако е компактно в релативната му топология.

Твърдение:
Нека $f : X \to Y$ е непрекъсната и $X$ е компактно. Тогава $f(X)$ също е компактно.
Доказателство:
Нека $\cup G_\alpha$ е произволно покритие на $f(X)$. Тогава $f^{-1}(G_\alpha) = Q_\alpha$ което е отворено в $X$. $\cup Q_\alpha \supset X$ е покритие на $X$, тогава може да си изберем крайно подпокритие $Q_{\alpha_1}, Q_{\alpha_2}, \cdots, Q_{\alpha_n}$. Тогава съответните им множества от $Y$ : $G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_n}$ са крайно покритие на $f(X)$.

Дефиниция:(ограниченост):
$A \subset \langle X, \rho \rangle$ е ограничено, ако $\exists x_1, x_2, \cdots x_n$ и $r_1, r_2, \cdots, r_n$, такива че

(1)
\begin{align} A \subset \bigcup_i B_{x_i, r_i} \end{align}

Т.е съществува крайно покритие от отворени сфери.

Еквивалентна дефиниция:

(2)
\begin{align} \exists x_0, r_0 : B_{x_0, r_0} \supset A \end{align}

Втора еквивалентна дефиниция:

(3)
\begin{align} d = \sup_{x, y \in A} \rho(x, y) < \infty \end{align}

Твърдение:
Ако $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство и $K \subset \langle X, \rho \rangle$ e компактно, то $K$ е ограничено.
Доказателство:
Да образуваме покритие на $K$, съставено от сфери с радиус 1 и центрове всички точки от $K$:

(4)
\begin{align} \bigcup_{x \in K} B_{x, 1} \supset K \end{align}

Тъй като $K$ e компактно, то съществува крайно подпокритие

(5)
\begin{align} \bigcup_{i = \overline{1, n}} B_{x_i, 1} \supset K \end{align}

което удовлетворява условията на първата дефиниция - т.е $K$ е компактно.

Твърдение:
Ако $\langle X, \rho \rangle$ е Хаус-Дорфово (удовлетворява 2ра аксиома за отделимост) и $K$ е компактно, то $K$ е затворено множество.
Доказателство:
Нека фиксираме $y \in X \setminus K$. За всяка точка $x \in K$ имаме, че съществуват 2 околности $x \in U_x,\ y \in U_y^x$, такива че $U_x \cap U_y^x = \varnothing$ (от Хаус-Дорф).
Избираме си крайно подпокритие от $\{U_x\}$ - нека го бележим със $\{ U_{x_i} \}$. T.e

(6)
\begin{align} \bigcup_{x_i} U_{x_i} \supset K \Rightarrow \underbrace{\bigcap U_y^{x_i}}_{U_y} \cap K = \varnothing \end{align}

Т.е построихме си отворена околност на $y$, която не се допира до $K$. Тъй като това е вярно за всяко $y$ от допълнението на $K$, то $K$ е затворено.

Твърдение(Болцано-Вайерщтрас в компактно множество)
Нека $K$ е компактно множество, и $f : K \to \mathbb R$ е непрекъсната. Тогава:

  1. $f$ е ограничена
  2. $f$ достига своя минимум/максимум.

Доказателство:
$f(K)$ е компактно (от първото твърдение) и следователно ограничено (от второто твърдение).
$\exists x_0 = \sup f(K) \subset \mathbb R$, $x_0$ е допирна за $f(K)$ (защото във всяка нейна околност има точки, които са от $f(K)$), и $f(K)$ е затворено (от 3тото твърдение), следователно $x_0 \in f(K)$ - достига максимум.
$\exists x_1 = \inf f(K) \subset \mathbb R$, $x_1$ e допирна за $f(K)$, и $f(K)$ е затворено, следователно $x_1 \in f(K)$ - минимум.

Твърдение: $X$ е компактно и $F \subset X$ е затворено. Тогава $F$ е компактно.
Доказателство: Нека $\{ G_\alpha \}$ е покритие на $F$ и $G_\alpha$ е отворено. Тогава със сигурност $\{ G_\alpha \} \cup \{ X \setminus F \}$ е отворено покритие на $X$. От него може да изберем крайно подпокритие $\{ G_{\alpha_i} \}$. Така получихме и крайно подпокритие на $F : \{ G_{\alpha_i} \} \setminus \{ X \setminus F \}$.

Твърдение: Нека $X$ е компактно и Хаус-Дорфово (т.е изпълнява 2ра теорема за отделимост). Тогава $X$ е нормално (т.е изпълнява 1ва и 4та теорема за отделимост - може да разделим всеки 2 затворени множества с отворени околности).
Доказателство: Нека си изберем 2 затворени множества от $X : F_1, F_2$.
Тъй като пространството е T2, то за всеки 2 точки $x, y$ можем да изберем непресичащи се отворени околности. За всяка точка $x \in F_1$ и $y \in F_2$ съществуват $U_x, U_y : x \in U_x \And y \in U_y \And U_x \cap U_y = \varnothing$.
Да фиксираме произволно $y_0 \in F_2$. За всяко $x \in F_1$ съществуват околности $U_x, U_{y_0}$ - образуваме отворено покритие на $F_1 \supset \{ U_x \}$, от което разбира се може да изберем крайно: $U_{x_1}, U_{x_2}, \cdots, U_{x_k}$. Нека съответстващите множества за $y_0$ са $U_{y_1}, U_{y_2}, \cdots U_{y_k}$. Образуваме си $U'_x = \bigcup U_{x_i} \supset F_1$ и $U'_y = \bigcap U_{y_i}$. Лесно се проверява, че $U'_x \cap U'_y = \varnothing$.
Направихме това разсъждение за произволно $y_0 \in F_2$. Ако за всяко $y \in F_2$ изберем съответното му множество $U'_y$ ще получим отворено покритие на $F_2$, от което можем да изберем крайно подпокритие: $U'_{y_1}, U'_{y_2}, \cdots, U'_{y_p}$. Сега избираме съответстващите им множества от другото множество $U'_{x_0}, U'_{x_1}, \cdots, U'_{x_p}$. Тогава отворените околности на $F_1, F_2$ са:

(7)
\begin{eqnarray} U_{F_1} &=& \bigcap_{i}^{p} U'_{x_i} \supset F_1 \\ U_{F_2} &=& \bigcup_{i}^{p} U'_{y_i} \supset F_2 \end{eqnarray}

Епсилон мрежа

Дефиниция: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо и $\epsilon > 0$. Нека $B \subset A \subset X$. Ще казваме, че $B$ е епсилон-мрежа на $A$ ако $\forall x \in A \ \exists y \in B : \rho (x, y) < \epsilon$.

Твърдение: Ако $\langle X, \rho \rangle$ е компактно то $\forall \epsilon > 0$ съществува крайна епсилон-мрежа на $X$.
Доказателство: За всяко положително $\epsilon$ си образуваме покритие на $X : \{ B_{x, \epsilon} \}$ - т.е взимаме всички отворени кълба с радиус $\epsilon$ и център всяка точка от пространството. От това покритие може да изберем крайно : $\{ B_{x_i, \epsilon} \} \quad i = \overline{1, n}$. Тогава точките $x_i$ образуват крайна епсилон-мрежа за $X$.

Теорема: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо и компактно. Тогава то е сепарабола. (притежава не повече от изброимо навсякъде гъсто подмножество).

Доказателство: Нека $\epsilon_i = \frac{1}{i}$. За всяко епсилон може да изберем крайна епсилон мрежа $A_{\epsilon_i}$. Ще докажем, че множеството $A = \bigcup A_{\epsilon_i}$ е навсякъде гъсто в $X$.
Нека $y \in X$ е произволна точка и $r > 0$. Тогава съществува $\epsilon_i : 0 < \epsilon_i < r$. Тогава със сигурност съществува $x_{i_0} \in A_{\epsilon_i} : \rho(y, x_{i_0}) < \epsilon_i < r$. Т.е доказахме, че $x_{i_0} \in B_{y, r}$. Т.е кълбо с център произволна точка и произволен радиус има обща точка със $A$. От тук следва, че $A$ е навсякъде гъсто в $X$.

Секвенциална компактност

Дефиниция: Нека $\langle X, \Omega \rangle$. Ще казваме, че пространството е секвенциално-компактно ако за всяка редица от точки от $X$ същестува сходяща подредица.

Цел: Ще докажем че при метрическите пространства компактност е равносилно на секвенциална компактност.
Ще разбием доказателството на 4 помощни леми.

Дефиниция: Нека имаме редицата $\{ x_n \}$ от множеството $\langle X, \Omega \rangle$. Тогава точката $x_0$ е точка на сгъстяване на $\{ x_n \}$ ако за всяка околност $U_{x_0}$ съществуват безброй много членове $x_i \in \{ x_n \}$ за който $x_i \in U_{x_0}$.

Лема 1: Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е компактно и $\{ x_n \} \subset X$ е редица. Тогава тя притежава точка на сгъстяване.
Доказателство: Да допуснем противното - т.е че никоя точка не е точка на сгъстяване. Тогава за всяка точка съществува околност $U_\alpha$, в която има краен брой членове от редицата $\{ x_n \}$. Тогава ако от покритието $\{ U_\alpha \}$ изберем крайно $U_{\alpha_1}, \cdots, U_{\alpha_n}$ във всяко от множествата му ще участват краен брой членове от редицата. Понеже покритието покрива цялото множество, то от тук следва че редицата е крайна (защото членовете и са разбити в краен брой множества, във всяко от които има по краен брой членове). Противоречие!

Лема 2: Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е компактно и удовлетворява $Ax1$ за изброимост. Тогава то е секвенциално компактно.
Доказателство: Нека $\{ x_n \} \subset X$ е произволна редица. От Лема 1 съществува точка на сгъстяване $x_0 \in X$. Нека $\{ U_i \}$ е изброима база от околности в точка $x_0$ (съществуването идва от Ax1). БОО може да считаме, че $U_k \supset U_{k+1}$. Тогава за всяко $i \in \mathbb N$ съществува точка $x_{n_i} \in U_i$ от редицата. Освен това винаги може да си изберем $n_i < n_{i+1}$, защото до $n_i$ има краен брой членове на редицата (за всяко $n_i$) и понеже във $U_{i+1}$ има безброй много членове на редицата то със сигурност има и такъв член, със индекс по-голям от $n_i$ а именно $n_{i+1}$.
Така конструирахме редицата $\{ x_{n_k} \}$ която е сходяща подредица на редицата $\{ x_n \}$. (редицата е сходяща, защото за произволна околност $U$ на $x_0$ може да изберем околносто от базата $U_{i_0} \subset U$, за която сме сигурни, че има член от редицата, и всеки след него - т.е безкрайно много).

Дефиниция: Казваме, че редицата $\{ A_\alpha \}$ е центрирана, ако $\forall \alpha_1, \cdots, \alpha_n : \bigcap A_{\alpha_i} \ne \varnothing$.

Лема 3: Следните 3 твърдения са равносилни за компактно множество $\langle X, \Omega \rangle$

  1. От всяко отворено покритие $\{ U_\alpha \}$ може да изберем крайно подпокритие $U_{\alpha_1}, \cdots U_{\alpha_n}$.
  2. От всяка затворена система с празно сечение $\{ F_\alpha \} : \bigcap F_\alpha = \varnothing$ съществува крайна подсистема $F_{\alpha_1}, \cdots, F_{\alpha_n}$ със празно сечение $\bigcap F_{\alpha_i} = \varnothing$.
  3. Всяка центрирана система $\{ F_\alpha \}$ от затворени множества има непразно сечение $\bigcap F_\alpha \ne \varnothing$.

Доказателство:
1 <=> 2: За да проверим това просто трябва да се убедим, че на всяко отворено покритие съответства затворена система с празно сечение (всяко затворено множество е допълнението на отворено до $X$). И съответно на всяко крайно отворено покритие съответства крайна затворена система с празно сечение.
2 => 3: Допускаме, че съществува центрирана система от затворени множества $\{ F_\alpha \}$ която има празно сечение. Но за всяка затворена система с празно сечение съществува крайна подсистема с празно сечение, което противоречи на центрираността.
3 => 2: Допускаме, че съществува затворена система с празно сечение, за която всяка крайна подсистема има непразно сечение. Тогава по дефиниция тази система е центрирана и от 3то твърдение има непразно сечение. Противоречие с допуснатото (че има празно сечение).

Лема 4: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство. Тогава ако то е секвенциално компактно следва че е сепарабола.
Доказателство: Ще допуснем противното - т.е че пространството не е сепарабола.
използваме факта, че от крайна епсилон мрежа за всяко епсилон следва сепараболност - от тук
Да фиксираме произволен $\epsilon > 0$.
Нека $x_1 \in X$.
Ако $\{ x_1 \}$ е крайна епсилон-мрежа тогава пространството е сепараболно. Ако не е $\exists x_2 : \rho (x_1, x_2) \ge \epsilon$.
Ако $\{ x_1, x_2 \}$ е крайна епсилон-мрежа - пространството е сепараболно. Ако не е $\exists x_3 : \rho(x_1, x_3) \ge \epsilon \And \rho(x_2, x_3) \ge \epsilon$.
Така или построяваме крайна епсилон мрежа в даден момент, или построяваме секвенциална редица $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$ за която е изпълнено, че произволни 2 елемента са на разстояние $\rho(x_i, x_j) \ge \epsilon \quad \forall i, j \in \mathbb N$. Тогава очевидно тази редица няма точка на сгъстяване. Това противоречи на факта, че пространството е секвенциално компактно. С това доказахме, че от секвенциална компактност следва сепараболност (в метрическо пространство).

Дефиниция: Пространството $\langle X, \Omega \rangle$ е старокомпактно (компактно по Фреше), ако от всяко изброимо отворено покритие може да се избере крайно. (докато при компактността от произволно покритие може да се избере крайно).

Лема 5: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо. Тогава секвенциалната компактност е равносилна на старокомпактност. (доказваме само правата посока, обратната следва от цялата теорема)
Доказателство:
секвенциална компактност => старокомпактност: Нека $\{ F_n \}$ е изброима центрирана затворена система. Ще докажем че има непразно сечение.
Образуваме си следните множества $\{ V_n \}$ и редица от представители $\{ x_n \}$ на всяко от тези множества:

(8)
\begin{eqnarray} x_1 \in V_1 &=& F_1\\ x_2 \in V_2 &=& F_1 \cap F_2\\ x_3 \in V_3 &=& F_1 \cap F_2 \cap F_3 \\ &\vdots& \\ x_n \in V_n &=& F_1 \cap \cdots \cap F_n \\ &\vdots& \\ \end{eqnarray}

Тъй като пространството е секвенциално компактно, то за редицата $\{ x_n \}$ съществува сходяща подредица, и нейната граница $x_0$ е точка на сгъстяване на $\{ x_n \}$. За всяка околност $G \supset x_0$ съществуват безброй много точки от произволно множество $F_n$ (защото всички членове на редицата от даден нататък принадлежат на $F_n$). С това доказахме, че $x_0$ е допирна точка за всяко затворено множество $F_n$. T.e $\forall n : x_0 \in F_n$. С това видяхме, че $x_0 \in \bigcap F_n$, с което показахме че произволна центрирана изброима затворена система има непразно сечение. Това е равносилно на старокомпактност (по аналогия на лема 3 за старокомпактност).

Лема 6: Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо, което изпълнява Ax2 за изброимост и е старокомпактно. Тогава то е компактно
Доказателство: Метрическо пространство изпълняващо Ax2 изпълнява и теоремата на Линдельов. Тогава от всяко отворено покритие може да се избере изброимо. Сега използваме старата компактност - именно, че от всяко изброимо покритие може да се избере крайно. И така окончателно получихме, че от всяко покритие може да се избере крайно, по дефиниця - пространството е компактно.

seq-comp-to-comp
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License