Тема 6

Непрекъснатост - глобална и в точка


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Нека $\langle X, \Omega_X \rangle , \langle Y, \Omega_Y \rangle$ са топологични пространства.
Нека $f : X \to Y$.
Дефиниция(глобална непрекъснатост):
$f$ е непрекъсната, ако праобраза на всяко отворено множество е отворено множество.
Т.е $\forall G \in \Omega_Y \Rightarrow f^{-1}(G) \in \Omega_X$.1

Дефиниция(непрекъснатост в точка):
$f$ е непрекъсната в точка $x_0 \in X$, ако за всяка околност $G_{f(x_0)} \subset Y$ на $f(x_0)$ съществува околност $Q \ni x_0$, такава че $f^{-1}(G_{f(x_0)}) \supset Q$.

  • околността е отворено множество.

Твърдение:
$f$ e непрекъсната тг.с.т. когато $f$ е непрекъсната във всяка точка от $X$.
Доказателство:
Права посока: Праобраза на $f^{-1}(G_{f(x_0)})$ е отворено множество и съдържа $x_0$. Т.е е негова околност.
Обратна посока: Ще докажем, че праобраза на произволно отворено множество $G \subset Y$ е отворено. Нека $x$ е произволна, такава че $x \in f^{-1}(G)$. Т.е $f(x) \in G$, или другояче казано $G$ е околност на $f(x)$. Тъй като $f$ е непрекъсната в точка $x$, то съществува отворена околност $U_x$, такава че $U_x \subset f^{-1}(G)$. Така окончателно получихме, че

(1)
\begin{align} f^{-1}(G) = \bigcup_{x \in f^{-1}(G)} U_x \end{align}

което е обединение на отворени множества, т.е отворено множество.

Дефиниция(Хомеоморфизъм):
Функцията $f$ се нарича хомеоморфизъм, ако $\exists f^{-1} : f, f^{-1}$ са непрекъснати.

Сега ще дадем и 2те дефиниции за непрекъснатост, който се учат по Анализ / ДИС 1. Те се отнасят само за метрически пространства.
Нека $\langle X, \rho_X \rangle, \langle Y, \rho_Y \rangle$ са метрически пространства и $f : X \to Y$ е изображение.
Дефиниция(непрекъснатост по Хайне в метрично пространство):
$f$ е непрекъсната в точка $x_0 \in X$, ако за всяка редица $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots \to x_0$ следва че редицата $f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), \cdots$ е сходяща.
$\{ f(x_n) \} \to f(x_0)$ е следствие.
Дефиниця:(непрекъснатост по Коши в метрично пространство):
$f$ е непрекъсната в точка $x_0 \in X$ ако $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x : \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow \rho(f(x), f(x_0)) < \epsilon$, или записано със околности:
$\forall B_{f(x_0), \epsilon} \exists B_{x_0, \delta} : f^{-1}(B_{f(x_0), \epsilon}) \supset B_{x_0, \delta}$.

Твърдение(композиция на непрекъснати функции):
Ако $\langle X, \Omega_X \rangle, \langle Y, \Omega_Y \rangle, \langle Z, \Omega_Z \rangle$ са топологични пространства и $f : X \to Y ,\ g : Y \to Z$ са непрекъснати, то и $h = g(f) \equiv f \circ g$ е непрекъсната.
Доказателство:
Нека $G$ е произволно отворено множество от $Z$. Тогава $g^{-1} (G) = G' \in \Omega_Y$, тъй като $g$ е непрекъсната. $f^{-1}(G') = G'' \in \Omega_X$, защото и $f$ е непрекъсната. Тогава $h^{-1}(G) = f^{-1}(g^{-1}(G)) = f^{-1}(G') = G''$ е отворено множество от $X$, с което непрекъснатостта на $h$ е доказана.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License