Тема 5

Гъстота и Сепараболност


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Гъстота

Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е топологично пространство
Дефиниция:
Нека $A \subset B \subset X$. $A$ гъсто в $B$, ако $[A] \supset B$. Т.е всички точки на $B$ са допирни за $A$.
Дефиниция:
Нека $A \subset X$. $A$ е навсякъде гъсто, ако $[A] \equiv X$. Т.е всички точки на $X$ са допирни за $A$.
Твърдение:
Ако $A$ е навсякъде гъсто, то сечението му със всяко отворено непразно множество е непразно и обратно.
Доказателство:
Права посока: Нека $A$ е навсякъде гъсто. Да допуснем, че съществува непразно отворено множество $G$, такова че $G \cap A = \varnothing$. Очевидно в това множество има поне една точка $x$, и тази точка е външна за $A$. Противоречие с дефиницията за навсякъде гъсто множество!
Обратна посока: Ако всяко отворено множество има непразно сечение със $A$, то всяка точка от $X$ би била допирна с $A$ (защото няма как да е външна).

Сепараболност

Дефиниция:
$X$ се нарича сепарабола (пространството се нарича сепараболно) ако притежава не повече от изброимо, навсякъде гъсто подмножество.

Твърдение:
Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство. То е сепараболно е равносилно на това да удовлетворява Ax2 за изброимост.
Доказателство:
Обратна посока: Ако удовлетворява Ax2 то е сепараболно.
Нека $\Sigma = \{ G_j \}$ е една негова изброима база на топологията. Да фиксираме по една точка $x_j \in G_j$. Ще докажем, че множеството $A = \{ x_j \}$ е навсякъде гъсто. Ами всяко непразно отворено множество, се разбива на множества от топологията, във всяко от които има по една точка от $A$. Т.е във всяко отворено непразно множество има точка от $A$. Обратната посока е доказана!

Права посока: Ако пространството е сепараболно, то удовлетворява Ax2 за изброимост.
Нека $A = \{ x_j \}$ е навсякъде гъсто. Ще докажем, че множеството от отворените кълба $\Sigma = \{ B_{x_i, r } \}$ където $r \in \mathbb Q$ е база на топологията. $| \Sigma | = \omega$, защото е обединение на изброимо много изброими множества (т.е пак изброимо).
За да докажем това твърдение трябва да покажем, че всяко отворено кълбо (с произволен център и радиус) може да бъде покрито със множества от базата (т.е кълба със фиксирани центрове и рационални радиуси). Нека $B_{a, r_0 }$ е произволно отворено кълбо. Ще докажем, че може да покрием всяка точка $y \in B_{a, r_0 }$ със множество от базата:
Нека $y \in B_{a, r_0}$ e произволна точка от кълбото. Нека $d = \rho (a, y)$. Нека $r_m = \frac{r_0 - d}{3} > 0$. Тогава със сигурност съществува $x_y \in \Sigma : x_y \in B_{y, r_m}$, защото $B_{y, r_m}$ е отворено непразно множество, и в него задължително има точка от навсякъде гъстото множество $A$. Сега ще си вземем едно рационално число $r_1 \in (\frac{r_0 - d}{3}, \frac{r_0 - d}{2})$ (във всеки отворен интервал има поне едно рационално число). Ще докажем, че кълбото $B_{x_y, r_1} : y \in B_{x_y, r_1 } \And B_{x_y, r_1} \subset B_{a, r_0}$. Очевидно $\rho(y, x_y) < r_m = \frac{r_0 - d}{3} < r_1$. Нека $z$ е произволна точка от $B_{x_y, r_1}$. Ще използваме неравенството на триъгълника за нея:

(1)
\begin{eqnarray} \rho(a, z) &\le& \rho(a, y) + \rho(y, x_y) + \rho(x_y, z) \\ &<& d + r_m + r_1 \\ &<& d + \frac{r_0 - d}{3} + \frac{r_0 - d}{2} \\ &<& d + \frac{r_0 - d}{2} + \frac{r_0 - d}{2} \\ &<& d + r_0 - d\\ &=& r_0\\ \end{eqnarray}

Т.е оконателно доказахме, че точката $z$ е вътре в кълбото $B_{a, r_0}$, с което доказахме че $B_{x_y, r_1} \subset B_{a, r_0}$. С това правата посока е доказана!

Преди да си помислите, че всяко пространство е сепараболно, ще покажем едно, което не е.
Да разгледаме множеството от всички ограничени редици от реални числа:

(2)
\begin{align} m = \big\{ \{x_i\}_{i=0}^{\infty}\ |\ \sup_i |x_i| < \infty \big\} \end{align}

Да си образуваме множеството, от всички редици, образувани само от числата и 1:

(3)
\begin{align} m_{0,1} = \big\{ \{x_i\}_{i=0}^{\infty}\ |\ x_i \in \{0, 1\} \big\} \end{align}

Нека $\bar y = \{y_i\}, \bar z = \{ z_i \} \in m_{0, 1},\ \bar y \ne \bar z$.
Тогава $\rho (\bar y, \bar z) = 1$. (щом са различни, значи се различават в поне един член - там разликата е точно 1 и по-голяма разлика няма как да се получи).
Т.е доказахме, че 2 произволни различни елемента от множеството $m_{0, 1}$ са на разстояние 1. Тогава ако $\bar x \in m_{0, 1}$ е произволно, кълбата $B_{\bar x, \frac{1}{2} }$ са непресичащи се. (защото кълбото на една редица няма как да има общи точки с кълбо на друга редица, след като разстоянието между редиците е 1, а кълбата имат радиус $\frac{1}{2}$.
Тъй като множеството $m_{0, 1}$ не е изброимо, то и броя на кълбата е неизброим, и ако искаме да е сепараболно, трябва да вземем по поне една точка от всяко кълбо. Т.е трябва да вземем поне неизброимо много точки. С това доказахме, че множеството от всички ограничени редици от реални числа не е сепараболно!

Твърдение: $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство. $A$ е навсякъде гъсто в $X$, тг.с.т. $\forall \epsilon \forall x \in X \ \exists x_a \in A : x_a \in B_{x, \epsilon}$. Т.е във всяка околност на всяка точка от пространството има точка от $A$.
Доказателство:
Права посока: Всяка околност е отворено множество, затова от едно твърдение по-рано следва верността на това.
Обратна посока: Нека $G$ е произволно отворено множество от $X$. Очевидно съществува отворено кълбо $B_{x, \epsilon} \subset G$ за някое $x \in X, \epsilon \in \mathbb R$. T.e ще има и точка от $A$ във това кълбо, и респективно във отвореното множество. Т.е сечението на произволно непразно отворено множество с $A$ е непразно, от където следва, че $A$ е навсякъде гъсто.

Твърдение: $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство. $A$ е навсякъде гъсто в $X$, тг.с.т. $\forall x \in X\ \exists \{ x_n \} : x_n \in A \And \{x_n\} \to x$. T.е за всяка точка от пространството може да се намери редица от $A$, която клони към нея.
Доказателство:
Права посока: За всяка околност $B_{x, \frac{1}{n}}$ съществува точка $x_n$ от $A$, такава че $x_n \in B_{x, \frac{1}{n}}$. Очевидно редицата $\{ x_n \}_{n = 1}^{\infty}$ клони към $x$, и членовете и са само от $A$.
Обратна посока: Да си вземем произволно непразно отворено множество $G$ и нека $x \in G$. Тъй като съществува редица от $A$ с граница $x$, то във произволна околност на $x$ (включително $G$) има безкрайно много членове от редицата (т.е от $A$).

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License