Тема 3

Аксиоми за отделимост


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Аксиоми за отделимост

Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е топологично пространство.
Сега ще разгледаме няколко Теореми/Аксиоми/Твърдения.
Т0: За всеки 2 различни точки $a, b \in X$ едната притежава околност, несъдържаща другата.
Т1: За всеки 2 различни точки $a, b \in X$ всяка има околност, несъдържаща другата. (от тук следва, че точката е затворено множество).
Т2(Хаус Дорф): За всеки 2 различни точки $a, b \in X$, съществуват околности на 2те точки $U_1 \ni a, U_2 \ni b$, такива че $U_1 \cap U_2 = \varnothing$.
T3: За всяка точка $a \in X$ и за всяко затворено множество $F, a \notin F$ съществуват отворена околност на $a$ : $U_1 \ni a$, и отворено надмножество на $F$ : $U_2 \supset F$, за който $U_1 \cap U_2 \ne \varnothing$.
Т3 + Т1 се нарича регулярност (т.е топологии, който ги изпълняват се наричат регулярни)
Т4: За всеки 2 затворени непресичащи се множествва $F_1, F_2 \quad F_1 \cap F_2 = \varnothing$ съществуват отворени техни надмножества $U_1 \supset F_1, U_2 \supset F_2$, който не се пресичат $U_1 \cap U_2 = \varnothing$.
T4 + T1 се нарича нормалност.
Долната схема показва влагането на топологиите, отговарящи на съответните топологии. Т.е ако една топология отговаря на $T_2$ тя със сигурност отговаря на $T_0, Т_1$. Т.е всяко следващо е по-силно и включва в себе си предходното.

(1)
\begin{align} T_0 \subset T_1 \subset T_2 \subset T_3 + T_1 \subset T_4 + T_1 \end{align}

Твърдение:
Всяко метрическо пространство $\langle X, \rho \rangle$ отговаря на $T_2$.
Доказателство:
За всеки 2 различни точки $a, b \in X$ нека $d = \rho(a, b) > 0$. Тогава ако изберем кълбата $B_{a,\frac{d}{2}}, B_{b,\frac{d}{2}}$ ще видим, че те не се пресичат: Допускаме, че има точка $x$ от сечението им. Тогава от неравенството на триъгълника:

(2)
\begin{align} \rho (a, b) \le \rho(a, x) + \rho(x, b) < 2 \frac{d}{2} = d \end{align}

Примери за пространство, което е само $T_1$, но не $T_2$: Върху множеството на естествените числа, отворени са всички подмножества, на които допълнението е крайно + самото празно множество.
Пример за $T_0$, което не е $T_1$: върху естествените числа + нулата полагаме отворени да са всички множества, с крайно допълнение, което съдържа нулата + самото празно множество.
За упражнение остава да се провери че примерите наистина демонстрират това.

Секвенциални редици

Дефиниция(секвенциална редица):
Секвенциална редица е функция:
$f: \mathbb N \to X$
Секвенциална означава всъщност, че индексите и са изброимо множество (т.е еквивалентно на $\mathbb N$).

Дефиниция(сходимост на секвенциални редици):
Ако $\{ x_n \}$ е редица, то казваме че е сходяща към $x_0 \in X$, ако за всяка околност $U$ на $x_0$ имаме $\forall n > n_0 \Rightarrow x_n \in U$.
Записваме $\lim x_n = x_0$.

Ако $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство, то горната дефиниция е еквивалентна на $\rho (x_n, x_0) \to 0$. Т.е редицата от разстоянията от редицата до границата да клони към 0. Това е, защото в метрически пространства кълбата образуват база на топологията. (горната дефиниция обобщава знанията ни по Анализ / ДИС 1).

Твърдение: По Т2 всяка сходяща редица има единствена граница и обратно - ако всяка сходяща редица има единствена граница, то множеството отговаря на Т2.

Доказателство(права посока):
Допускаме, че съществува редица $\{ x_n \} : x_n \to x_0' \And x_n \to x_0'' \And x_0' \ne x_0''$. По T2 съществуват 2 околности на $U_1 \ni x_0', U_2 \ni x_0''$ такива, че $U_1 \cap U_2 = \varnothing$. Тогава съществуват $n_1, n_2 :$ $\forall n > n_1 \Rightarrow x_n \in U_1$ и $\forall n > n_2 \Rightarrow x_n \in U_2$. От където следва противоречието (за всяко $n > \max {n_1, n_2}$ точките от редицата принадлежат едновременно на непресичащи се множества).

Дефиниция(секвенциална затворена обвивка):
Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е метрично пространство.
Ако $A \subseteq X$ то:

(3)
\begin{align} [A]^C = \{ x | \exists {x_n} \in A \And x_n \to x \} \end{align}

се нарича секвенциална затворена обвивка на $A$. Т.е това са всички точки, за които съществува сходяща редица с елементи на $A$, чиято граница е точно тази точка.

(4)
\begin{align} A \subseteq [A]^C \subseteq [A] \end{align}

Пробвайте да го докажете за упражнение!
За някой пространства $[A]^C \equiv [A]$ (последното е затворената обвивка на $A$).

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License