Тема 2

Метрически пространства - дефиниция и примери


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Дефиниция

$\langle X, \rho \rangle$ е метрично пространство с метрика $\rho$, ако
$\rho : X \times X \to R^+ \cup \{0\}$
Т.е метриката е функция на 2 аргумента от пространството, която връща неотрицателно реално число. Може да си го мислите като измерване на разстояние между 2 точки.
За да бъде една метрика истинска трябва да изпълнява следните условия:

  1. $\rho (a, b) = 0 \iff a = b$ - т.е разстоянието между 2 точки е 0 само и единствено ако съвпадат
  2. $\rho (a, b) = \rho (b, a)$ - комутативна е
  3. $\rho (a, c) \le \rho (a, b) + \rho (b, c)$ - изпълнено е неравенството на триъгълника

За произволно пространство може да си измислим следната метрика, изпълняваща горните условия:

(1)
\begin{align} \rho = \begin{cases} \rho (x, x) = 0 \\ \rho (x, y) \ne 0 & x \ne y \\ \end{cases} \end{align}

Върху реалните числа често използвана метрика е следната: $\rho (x, y) = | x - y |$.

Примери за метрики

метрика върху ограничени редици от реални числа

(2)
\begin{eqnarray} & & m = \{ \{a_n\} | a_n \in \mathbb R \And \sup |a_n| < \infty \} \\ & & \rho (\{a_n\}, \{ b_n \}) = \sup |a_n - b_n| \end{eqnarray}

метрика върху ограничени числови функции

(3)
\begin{eqnarray} & & M = \{ f : X \to \mathbb R \And f \mbox{ bounded}\}\\ & & \rho (f, g) = \sup |f - g| \end{eqnarray}

метрики върху вектори

$S_1, S_2, \cdots$ са различни метрики, но поради сходността им ги показваме заедно

(4)
\begin{eqnarray} \bar a &=& (a_1, a_2, \cdots, a_n)\\ \bar b &=& (b_1, b_2, \cdots, b_n)\\ S_1(\bar a, \bar b) &=& \sum |a_i - b_i|\\ S_2(\bar a, \bar b) &=& \sqrt{\sum (a_i - b_i)^2}\\ \vdots & & \vdots\\ S_p(\bar a, \bar b) &=& \sqrt[p]{\sum (a_i - b_i)^p}\\ \vdots & & \vdots\\ S_\infty(\bar a, \bar b) &=& \max |a_i - b_i| \end{eqnarray}

метрика върху произволни редици

(5)
\begin{align} X = \{ \{ a_n \} \} \\ \rho(\bar a, \bar b) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} \frac{|a_i - b_i|}{1 + |a_i - b_i| } \end{align}

може да се докаже, че горният ред е сходящ винаги (защото функцията $f(t) = \frac{t}{1+t}$ е намаляваща и съответно ограничена и $\frac{1}{2^i}$ е сходяща).

метрика върху непрекъснати функции, дефинирани върху краен затворен интервал

(6)
\begin{eqnarray} & & C_{[a, b]} = \{f | f \mbox{ continuous over } [a, b]\} \\ & & \rho(f, g) = \max |f - g| \end{eqnarray}

метрика върху непрекъснати функции, дефинирани върху цялата реална ос

(7)
\begin{eqnarray} & & C_{\mathbb R} = \{ f | f \mbox{ continuous over } \mathbb R \}\\ & & \rho(f, g) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2^i} \frac{\max_{[-i, i]} | f - g|}{1 + \max_{[-i, i]}|f - g|} \\ & & \rho'(f, g) = \sup_{N} \max_{[-N,N]} |f - g| \\ \end{eqnarray}

метрика върху сходящи по модул към 0 редици

(8)
\begin{eqnarray} & & c_0 = \{ \{ a_i\} = \bar a | |a_i| \rightarrow 0 \}\\ & & \rho(\bar a, \bar b) = \max |a_i - b_i| \end{eqnarray}

метрика върху сходящи редици

(9)
\begin{eqnarray} & & c = \{ \{ a_i\} = \bar a | \exists \lim \bar a \}\\ & & \rho(\bar a, \bar b) = \sup |a_i - b_i| \end{eqnarray}

Метрика в топологично пространство

Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрично пространство $a \in X \quad r \in \mathbb R \quad r > 0$. Тогава дефинираме

  • $B_{a,r} = \{ x \in X | \rho (a, x) < r \}$ - отворено кълбо
  • $\bar B_{a, r} = \{ x \in X | \rho (a, x) \le r \}$ - затворено кълбо
  • $S_{a, r} = \{ x \in X | \rho (a, x) = r \}$ - сфера

Теорема 1база на топологията:
$\langle X, \rho \rangle$ - метрично пространство. Тогава $B_{a,r}$ при $r \in R^+ \And a \in X$ образуват база на топологията. Т.е всички отворени кълба със неотрицателен радиус образуват база на топологията.
Доказателство:
Ще използваме необходимото и достатъчно условие за топология, което доказахме по-рано. Първите 2 свойства са изпълнени очевидно. Сега трябва да проверим дали за всеки 2 кълба с непразно сечение, за всяка точка от сечението е изпълнено, че тя е част от кълбо с ненулев радиус намиращо се вътре в сечението.
$B_{a_1,r_1} \cap B_{a_2,r_2} \ne \varnothing$
$c \in B_{a_1,r_1} \cap B_{a_2,r_2}$
Избраме си $q$, по следния начин:
$0 < q < \min \{ r_1 - \rho(a_1, c), r_2 - \rho (a_2, c) \}$. По дефиницията за кълбо, и 2те числа в минимума са положителни, така че и целия минимум е положителен.
Да разгледаме следното къбло: $B_{c,q} = \{ x | \rho (x, c) < q \}$. За всяка точка $y$ от него е изпълнено:
$\rho (y, a_1) \le \rho(y, c) + \rho(c, a_1) \le q + \rho (c, a_1) < r_1 - \rho(a_1, c) + \rho(c, a_1) < r_1$
Т.е доказахме че е вътрешна за първото кълбо. Аналогично и за второто. Т.е доказахме че за всяка точка от сечението съществува кълбо (което даже е с център точката), което съдържа точката и се съдъжда изцяло в сечението.

Еквивалентност на метрики

Дефиниция:
Две метрики $\rho_1, \rho_2$ се наричат еквивалентни, ако

(10)
\begin{align} \exists c > 0 : \forall a, b \in X : \frac{1}{c} \rho_1 (a, b) \le \rho_2 (a, b) \le c\rho_1(a, b) \end{align}

Т.е 2те метрики не се различават със повече от константа.

Твърдение:
Ако върху дадено пространство $X$ имаме 2 еквивалентни метрики $\rho_1, \rho_2$, то топологиите образувани от отворените им кълба съвпадат.

Твърдение:
Ако $\bar B_{r,a}$ е затворедно кълбо в $\langle X, \rho \rangle$ то е и затворено множество.
Тук просто трябва да се провери, че допълнението му е отворено множество. Понеже за всяка точка извън него съществува отворено кълбо, която я съдържа, то обединявайки тези отворени множества ще покрием цялото допълнение с отворено множество.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License