Тема 12

Свързаност. Линейна свързаност.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Свързаност

Дефиниция: Едно топологично пространство $\langle X, \Omega \rangle$ е свързано, ако единствените едновременно отворени и затворени множества в него са $\varnothing, X$. По друг начин изказано $\Omega \cap \tilde \Omega = \{ \varnothing, X \}$.
Дефиниция: Подмножество $M$, на топология $\langle X, \Omega \rangle$ е свързано, ако е свързано в релативната топология.
Твърдение: Подмножество $M$ на топология $\langle X, \Omega \rangle$ не е свързано, тогава и само тогава, когато съществуват 2 отворени множества $U, V$ такива че:

  • $U \ne \varnothing \quad V \ne \varnothing$ - непразни са
  • $U \cap V = \varnothing$ - непресичащи се
  • $U \cup V \supseteq M$ - покриват $M$
  • $U, V$ са отворени в релативната топология на $M$.
  • $U \cap M \ne \varnothing \quad V \cap M \ne \varnothing$ - имат непразно сечение с $M$

Доказателство:
Права посока: Ако множеството $M$ не е свързано то има подмножество $U \ne \varnothing, M$, което е едновременно и отворено и затворено. Тогава допълнението му $V = M \setminus U$ е също отворено и затворено. Тези 2 множества удовлетворяват изискванията!
Обратна посока: Нека $U, V$ са 2те множества, които покриват $M$. Тогава $M \cap U \And M \cap V$ са едновременно отворени. Обаче $M \setminus (M \cap U) = M \cap V$, от където получихме че $M \cap V$ е едновременно отворено и затворено.

За напред ще използваме по-често точно това необходимо и достатъчно условие за свързаност.

Твърдение: Затворена обвивка на свързано множество е свързано множество.
Доказателство: Нека $A$ е свързано множество в $\langle X, \Omega \rangle$ и $[A]$ не е свързано. Тогава съществуват $U, V$ oтворени в релативната топология, които го покриват. Понеже $A$ е навсякъде гъсто в $[A]$, то от $P \cap [A] \ne \varnothing \Rightarrow P \cap A \ne \varnothing$ за произволно отворено $P$ от $[A]$. Заместваме $P$ със $U, V$ и получаваме $U \cap A \ne \varnothing \And V \cap A \ne \varnothing$. Освен това $U \cup V \supseteq A$. Така получихме, че $A$ не е свързано ($U, V$ са непресичащи се, покриват $[A]$, т.е покриват и $A$ отворени са в релативната, защото са отворени в $[A]$ и като ги пресечем с $A$ се получават отворени, и проверихме за непразно сечение с $A$).

Твърдение: Произволно обединение на свързани множества с непразно сечение е свързано множество.
Доказателство: Нека $\{ A_\alpha \}$ е система от отворени множества с непразно сечение, т.е $\bigcap A_\alpha \ne \varnothing$. Нека $A = \bigcup A_\alpha$. Допускаме, че $A$ e несвързано и нека $U, V$ са покриващите го множества.
Ако допуснем, че за някое множество $A_{\alpha_0}$ има непразно сечение с $U, V$ ще излезе, че не е свързано.
Ако допуснем, че за някои 2 множества $A'_\alpha, A''_\alpha$ едното има непразно сечение с $U$, другото с $V$:

(1)
\begin{align} \left{}\begin{matrix} A'_\alpha \cap U \ne \varnothing \Rightarrow A'_\alpha \cap V = \varnothing \Rightarrow A'_\alpha \subseteq U\\ A''_\alpha \cap V \ne \varnothing \Rightarrow A''_\alpha \cap U = \varnothing \Rightarrow A''_\alpha \subseteq V \end{matrix}\right\} \Rightarrow A'_\alpha \cap A''_\alpha = \varnothing \end{align}

От където получаваме, че системата има празно сечение (противоречие). Т.е обединението е свързано.

Твърдение: Произволна редица от свързани множества, всеки 2 съседни от които имат непразно сечение, е свързано множество.
Т.е ако $\{ x_n \}$ е редица от свързани множества, за които $x_i \cap x_{i+1} \ne \varnothing$ то $x = \bigcup x_n$ е свързано.
Доказателство: Ще използваме предното твърдение в частен случай на 2 множества.
Ако редицата $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$ удовлетворява условията, то и редицата $x_1 \cup x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$ удовлетворява условията (защото $x_1 \cup x_2$ e свързано от предното твърдение. Доказва се с индукция.

Твърдение: $X$ e несвързано, ако може да се изобрази непрекъснато върху двуеточие.
Забележка: Двуеточие е примерно множеството $\{ 1, 2 \}$. Тъй като това е крайно (дискрено) множество, то избираме дискретната топология за него (т.е всяко множество е отворено).
Доказателство:
Права посока: $X$ не е свързано, следователно може да се разбие на 2 непресичащи се непразни отворени множества $X_1, X_2$. Tогава дефинираме:

(2)
\begin{align} f(x) = \begin{cases} 1 & x \in X_1\\ 2 & x \in X_2 \end{cases} \end{align}

Обратна посока: Нека $f: X \to \{ 1, 2 \}$ е непрекъсната. Тогава $f^{-1} (1) = X_1 \And f^{-1}(2) = X_2$, който са отворени (защото 1, 2 са отворени в дискретната топология). Освен това са непрекъснати, непресичащи се и покриват $X$, т.е $X$ не е свързано.

Твърдение: Непрекъснат образ на свързано множество е свързано множество.
Доказателство: Нека $X$ е свързано и $f : X \to Y$. Допускаме, че $Y$ не е свързано, т.е покрито е от 2 непресичащи се отворени непразни подмножества. Тогава техните първообрази също са отворени, непресичащи се и покриват $X$. Т.е $X$ излезе несвързано.

Твърдение: Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е топологично пространство.
Нека $x_0$ е произволна точка от $X$, и $\{ A_\alpha \}$ са всички свързани множества, които го съдържат. Тогава $A_{x_0} = \bigcup A_\alpha$. Тогава $A_{x_0}:$:

  • е свързано (защото е обединение на свързани множества с непразно сечение ($x_0$))
  • е затворено - защото затворена обвивка на свързано множество е свързано множество
  • е най-голямото свързано множество, съдържащо $x_0$. (защото съдържа всяко друго, което е свързано, и го съдържа)

По този начин за всяко $x \in X$ може да изберем свързаната компонента $A_x$. Т.е факторизирахме (разбихме на части) $X$, според свързаност.

Линейна свързаност

Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е топологическо пространство.
Дефиниция(Път): Непрекъснато изображение $f : [0, 1] \to X$ се нарича път в $X$. $f(0), f(1)$ са съответно начало, край на пътя.
Дефиниция(Обратен път): Нека $f : [0, 1] \to X$ е път. Тогава $g(x) = f(1-x)$ се нарича обратен път на $f$.
Дефиниция(Линейно свързан): Множество $\langle X, \Omega \rangle$ е линейно свързано, ако всеки 2 точки от него могат да бъдат свързани с път.
Твърдение: Обединение на система линейно свързани множества с непразно сечение е линейно свързано.
Доказателство: Взимаме произволна точка от непразното сечение. Всяка точка от всяко множество има път до нея. Така съединявайки тези пътища получаваме пътища между всеки 2 точки.
Забележка: Затворена обвивка на линейно свързано множество не винаги е линейно свързано (пример - $\sin \frac{1}{x}$ и неговото затворено $\sin \frac{1}{x} \cup \{ \{0\} \times [-1,1] \}$)
Твърдение: Всяко линейно свързано множество е свързано.
Твърдение: Редица от линейно свързани, всеки 2 последователни от които имат непразно сечение е линейно свързано.
Доказателство: Обединяваме пътища през общите части на съседните множества.
Твърдение: Нека $\langle X, \Omega \rangle$ е топологическо пространство. Ако за всяка точка $x_0$ образуваме обединението на всички линейно свързани множества, съдържащи $x_0$. Полученото множество $A_{x_0}$ е най-голямото линейно свързано множество, съдържащо $x_0$.
Tвърдение: Множеството $\langle X, \Omega \rangle$ e локално линейно свързано, ако всяка точка притежава линейно свързана околност.
Твърдение: Ако $\langle X, \Omega \rangle$ е локално линейно свързано, то в него линейно свързано е равносилно със свързано.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License