Iga11

Метрически компакти и локално компакнти пространства


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Метрически компакти от непрекъснати функции

Дефиниция: Нека $K$ е метрически компакт. С $C_K = \{f | f:K \rightarrow \mathbb R, f \mbox{continuous over} K\}$, означаваме както се вижда непрекъснатите функции от $K$ в $R$.
Дефиниция: Въвеждаме метрика в $C_K$, по следният начин: $\rho(f,g) = \max_t|f(t) - g(t)|, \forall f,g \in C_K$. Максимума е добре дефиниран, тъй като $f, g$, са непрекъснати над компактното множество $K$.
Дефиниция: Казваме, че редицата $f_n \in C_K$, е равномерно сходяща към $f_0$, пишем $f_n \rightrightarrows f_0$, ако $\forall \epsilon > 0 \exists n_0, \forall n > n_0 \sup_t |f_n - f_0| < \epsilon$
Заб(за Искрен): Гурко е писал горе не $\sup$, а $\max$, но не съм убеден, че можем да пишем $\max$, преди да сме доказали че $f_0$ е непрекъсната.
Дефиниция: Редицата $f_n \in C_K$, се нарича равномерно фундаментална, ако $\forall \epsilon >0 \exists n_0 \forall n > n_0 \forall s > 0 \max|f_n - f_{n+s}| < \epsilon$.
Твърдение: Нека $f_n \in C_K$ е равномерно фундаментална и $\forall t \in K f_n(t) \rightarrow f_0(t)$. Тогава са в сила:

  • $f_0(t)$ е непрекъсната за всяко $t$.
  • $f_n \rightrightarrows f_0$

Доказателство:

  • Трябва да докажем, че $\forall t_0 \in K \forall \epsilon > 0 \exists \delta >0, \rho(t, t_0) < \delta \Rightarrow |f_0(t) - f_0(t_0)| < \epsilon$. От дефинициите за непрекъснатос и равномерна фундаметналност е ясно че можем да си гарантираме следното:
(1)
\begin{eqnarray} & & \forall t \forall \epsilon > 0 \exists n_0(t), n > n_0(t) \Rightarrow |f_0(t) - f_n(t)| < \frac{\epsilon}{4}\\ & & \forall \epsilon > 0 \exists n_1 \forall n,m > n_1 \Rightarrow \max_t|f_n(t) - f_m(t)| < \frac{\epsilon}{4}\\ & & \forall t_0 \forall \epsilon \exists \delta > 0, \rho(t, t_0) < \delta \Rightarrow |f_m(t) - f_m(t_0)| < \frac{\epsilon}{4}\\ & & \forall t_0 \exists n_2, m > n_2 \Rightarrow |f_m(t_0) - f_0(t_0)| < \frac{\epsilon}{4} \end{eqnarray}

Сега е ясно, че е достатъчно да вземем $\rho(t, t_0) < \delta, n > \max(n_0(t), n_1), m > \max(n_1, n_2)$ и имаме:

(2)
\begin{eqnarray} & & |f_0(t) - f_0(t_0)| \leq |f_0(t) - f_n(t)| + |f_n(t) - f_m(t)| + |f_m(t) - f_m(t_0)| + |f_m(t_0) + f_0(t_0)| < \epsilon \end{eqnarray}

Горното е вярно за фиксирани $t, t_0$. Като пуснем $t$ да пробяга $\rho(t, t_0) < \delta$ получаваме исканото.

  • Сега понеже $f_0, f_n$, са непрекъснати лесно се вижда, че:
(3)
\begin{eqnarray} & & \forall t_0 \forall \epsilon > 0 \exists \delta_1 > 0, \rho(t, t_0) < \delta_1 \Rightarrow |f_0(t) - f_0(t_0)| < \frac{\epsilon}{3}\\ & & \forall t_0 \forall \epsilon \exists n_0, n > n_0 \Rightarrow |f_0(t_0) - f_n(t_0)| < \frac{\epsilon}{3}\\ & & \forall t_0 \forall \epsilon > 0 \exists \delta_2 > 0, \rho(t, t_0) < \delta_2 \Rightarrow |f_0(t) - f_0(t_0)| < \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray}

И сега просто трябва да заключим че за $n > n_0, \rho(t, t_0) < \min(\delta_1. \delta_2)$, следва:

(4)
\begin{eqnarray} & & |f_0(t) - f_n(t)| \leq |f_0(t) - f_0(t_0)| + |f_0(t_0) - f_n(t_0)| + |f_n(t_0) - f_n(t)| < \epsilon \end{eqnarray}

Горното е в сила за произволно $t_0$. Като пуснем $t_0$ да пробягва $K$ получаваме, това което трябваше да докажем.

Твърдение: $C_K$ е пълно метрическо пространство.
Идея: Тъй като $K$ е компакт, то $C_K \subset M_K$, където $M_K = \{f | f:K \rightarrow \mathbb R, f \mbox{bounded over} K\}$, т.е. $M_K$, представлява ограничените функции над $K$. Сега е достатъчно да покажем че $M_K$ е пълно метрическо пространство, защото $C_K$ е затворено в $M_K$(ЗАЩО ?). Без пълно доказателство за сега.

Дефиниция: Множеството $A \subset C_K$, наричаме равностепенно непрекъснато ако $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0, \rho(t_1, t_2) < \delta, \forall f \in A \Rightarrow |f(t_1) -f(t_2)| < \epsilon$.
Теорема(Арцела - Асколи): Нека $K$ е метрически компакт, $C_K$ са непрекъснатите функции над $K$. Тогава $A \subset C_K$ е относително компактно, тогава и само тогава когато е ограничено и равностепенно непрекъснато.
Доказателство:
Права посока: Тъй като $A$ е относително компактно, ограничеността му е задължителна. От $C_K$ пълно метрическо пространство, имаме че за всяко $\epsilon > 0$ съществува крайна $\epsilon/3$ - мрежа за $K$. Нека тя е $f_i, i = 1, \cdots, n$. Нека $f \in A$ е функция. Имаме, че:

(5)
\begin{eqnarray} & & \forall \epsilon > 0 \exists \delta, t_1, t_2 \in A \And \rho(t_1, t_2) < \delta \forall n \Rightarrow |f_n(t_1) - f_n(t_2)| < \frac{\epsilon}{3}\\ \end{eqnarray}

Тъй като $f_i$ е $\epsilon/3$ - мрежа, $\forall f \in A \And \rho(t_1, t_2) < \delta$, имаме че $\exists n_0, \sup|f_{n_0}(t) - f(t)| < \epsilon/3$. Сега вече лесно се, вижда че:

(6)
\begin{eqnarray} & & |f(t_1) - f(t_2)| \leq |f(t_1) - f_{n_0}(t_1)| + |f_{n_0}(t_1) - f_{n_0}(t_2)| + |f_{n_0}(t_2) - f(t_2)| < \epsilon \end{eqnarray}

Като пуснем $t_1, t_2$ да пробягват $A$, получаваме исканото.
Обратна посока: Няма д-во за сега.

Локално компактни пространства

Дефинция: Пространството $\langle X, \Omega \rangle$, наричаме локално компактно, ако за $\forall x \in X \exists U_x \subset \Omega, x \in U_x$ и $\[U_x\]$ е компактно. С други думи всяка точка притежава относително компактна околност.
ТеоремаСтоун - Чек: Нека $X, \Omega$ е локално компактно Хаус-Дорфово пространство. Тогава с добавяне на една "идеална" точка $\omega$, $X \cup \{\omega\} = \tilde{X}$, е компактно Хаус-Дорфово и $X \subset \tilde{X}$ е навсякъде гъсто.
Доказателство: Околност на $\omega$, въвеждаме като всяко отворено множество $G$ с компактно допълнение $X \setminus G$. Т.е изкуствено "поставяме" $\omega$, във всяко множество със свойствата на $G$. Или още по просто казано, разширяваме $\Omega$ до $\tilde{\Omega}$, като добавяме като отворени новите множества в които има $\omega$ и всевъзможните им обединения със старите отворени множества. За упражнение да се докаже че така полученото $\tilde{\Omega}$ наистина е топология. За $\tilde{X}$ е ясно че $X$ е навсякъде гъсто в него. Остава да проверим дали е Хаус-Дорфово и компактно. Първо ще покажем че е Хаус-Дорфово. $\forall x \in X$ съществува $U$-околност на $x$, такава че $\[U\]$ е компактно. Следователно $X\[U\] = G$ е отворено и $\omega \in G$, по построение. За останалите точки имаме Хаус-Дорф, понеже самото $X$ е Хаус-Дорфово. Остава да докажем че $\tilde{X}$ е компактно. Нека $G_\alpha$ е отворено покритие на $\tilde{X}$. Съществува $\alpha_0$, такова че $\omega \in G_{\alpha_0}$. Имаме че $X \setminus G_{\alpha_0} = K$ е компакт. Следователно имаме $G_1, G_2, \cdots, G_n$ - крайно покритие на $K$. Като прибавим към $G_{\alpha_0}$ получаваме търсеното покритие на $\tilde{X}$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License