Относителна компактност
страницата се нуждае от дописване/преглеждане
Дефиниция и необходимо и достатъчно условие
Дефиниция(относително компактно): Нека $\langle X, \rho \rangle$ е метрическо пространство. Тогва $K \subset X$ е относително компактно, ако $[K]$ е компактно.
Твърдение: $\langle X, \rho \rangle$ е пълно метрическо и $K$ е относително компактно в него, тг.с.т. $K$ притежава крайна $\epsilon$-мрежа.
Доказателство:
Права посока: За всяко $\epsilon$ си вземаме кълбата $B_{x, \epsilon} \quad \forall x \in [K]$. Тъй като $[K]$ е компактно - то съществува крайно подпокритие $B_{x_i, \epsilon}$. Т.е $\{ x_i \}$ образуват крайна $\epsilon$-мрежа на $[K]$.
Обратна посока: Ще докажем, че ако $[K]$ притежава крайна $\epsilon$-мрежа за всяко $\epsilon$, то е секвенциално компактно (което е равносилно с компактно в метрически пространства). За целта ще докажем, че произволна редица $\{ x_n \} \subset [K]$ съдържа сходяща подредица.
Нека $\{ B_{y_n^{(1)}, 1} \}$ е крайна $1$-мрежа на $[K]$. Поне във едно кълбо ще безброй много точки от $\{ x_n \}$. Б.О.О. избираме това да е $B_{y_1^{(1)}, 1} = B_1$.
Нека $\{ B_{y_n^{(2)}, \frac{1}{2}} \}$ е крайна $\frac{1}{2}$-мрежа на $[K]$. Тази мрежа покрива $B_1$, и понеже в $B_1$ има безброй много точки от редицата, то във поне едно от новите кълба има безброй много точки. Б.О.О това е $B_{y_1^{(2)}, \frac{1}{2}} = B_2$.
Така си построихме изброимата редица $B_1, B_2, \cdots, B_n, \cdots$ от кълба с радиуси $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{2^n}$, във всяко от които има безброй много членове от редицата. Нека от всяко едно кълбо си изберем по един член от редицата, така че индексите им да растат (винаги може да го направим защото преди всеки даден индекс има крайно много членове и следователно, тъй като във всяко кълбо има безкрайно много, може да изберем по-голям). Т.е конструирахме си подредицата $x_{n_1} \in B_1, x_{n_2} \in B_2, \cdots \quad n_i < n_{i+1}$. Тази редица е фундаментална (заради избора на радиусите и това, че всеки 2 последователни кълба имат обща точка), от където е и сходяща (защото пространството е затворено подмножество на пълно, т.е пълно). Доказахме, че всяка редица има сходяща подредица - тогава пространството е секвенциално компактно, което в метрични пространства е еквивалентно със компактност.
Твърдение: Относително компактно множество във $\langle X, \rho \ranlge$ е ограничено.
Твърдение: В пълно метрическо пространство едно множество е относително компактно тг.с.т когато за всяко $\epsilon$ съществува относително компактна $\epsilon$-мрежа.
Приложения
Дефиниция: $\mathbb R^n$ - наредени $n$-торки реални числа $(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \bar a$. Метрика: $\rho(\bar a, \bar b) = \max (|a_i - b_i|)$.
Твърдение: $A$ е относително компактно във $\mathbb R^n$ тг.с.т. $A$ е ограничено.
Доказателство:
Права посока: Очевидно щом е относително компактно съществува крайна 1-мрежа, т.е краен брой отворени кълба го покриват. Т.е е ограничено.
Обратна посока: Щом $A$ e ограничено, следователно съществува $M : \forall \bar a \in A : |a_i| \le M$. Разбиваме интервала $[-M, M]$ на части с големина не повече от $\frac{\epsilon}{2}$. От всяка част избираме по една точка. Това правим за всяка координата и получаваме множеството $\{ (x_1^{\epsilon_{j_1}}, x_2^{\epsilon_{j_2}}, \cdots, x_n^{\epsilon_{j_n}}) \}$ където горния индекс показва от кой точно интервал е точката (за всяка координата взимаме всички възможни точки - т.е колкото са интервалите, на които сме разбили $[-M, M]$). Това множество образува крайна $\epsilon$-мрежа, и следователно е относително компактно. Това е $\epsilon$-мрежа, защото за всяка точка от множеството, във всяка координата се различава с не-повече от $\frac{\epsilon}{2}$ и според дефинираната метрика цялата $n$-мерна точка се различава с не повече от $\frac{\epsilon}{2}$.
Твърдение: Едно множество е относително компактно в $m$ (всички ограничени безкрайни редици), тг.с.т. всяка координата е ограничена (??).