Тема 1

Топологични пространства - основни понятия


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Топологично пространство - дефиниция

$A$ - множество от произволна природа
$\Omega \subseteq 2^A$ - избираме си система от подмножества на $A$.
Двойката $\langle A, \Omega \rangle$ ще наричаме топологично пространство при следните условия:

  1. $\varnothing, A \in \Omega$ - празното множество и цялото множество принадлежат на топологията.
  2. $\underset{A_\alpha \in \Omega}\bigcup A_\alpha \in \Omega$ - обединението на произволен брой (може и безкраен, неизброим) множества от $\Omega$ също е множество от $\Omega$
  3. $A, B \in \Omega \Rightarrow A \cap B \in \Omega$ - сечението на 2 множества от $\Omega$ пак е от $\Omega$. Обърнете внимание, че това свойство може да се разшири до сечение на краен брой множества от $\Omega$ да бъде в $\Omega$.

Казваме че върху $A$ ни е зададена топология $\Omega$. Ще наричаме множествата от $\Omega$ отворени множества.

Ако $B \in \Omega \rightarrow A \setminus B$ е затворено множество. T.e допълнението на отворено множество е затворено множество (дефиницията не забранява едно множетво да бъде както отворено така и затворено. Пример за това са $A, \varnothing$).
За всяка топология $\Omega$ може да си образуваме обратната топология $\tilde \Omega$ която съдържа всички затворени множества. Свойства на обратната/допълнителната топология:

  1. $\varnothing, A \in \tilde \Omega$
  2. $A_1, A_2 \in \tilde \Omega \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in \tilde \Omega$ - обединението на 2 затворени множества е затворедно множество (може да се развие до обединение на краен брой)
  3. $\underset{A_\alpha \in \tilde \Omega}\bigcap A_\alpha \in \tilde \Omega$ - сечението на произволен брой (може и неизброимо много) затворени множества пак е затворено множество.

Да разгледаме едно множество с 2 елемента : $A = \{ a, b \}$. Следните 4 топологии са валидни:

  1. $\Omega = \{ \varnothing, A \}$ - тази топология се нарича антидискретна (т.е само празното и цялото множество са отворени)
  2. $\Omega = \{ \varnothing, a, b, A \}$ - тази топология се нарича дискретна (т.е всички възможни подмножества са отворени) - такава топология обикновенно се използва при крайните (дискретни) множества.
  3. $\Omega = \{ \varnothing, a, A \}$
  4. $\Omega = \{ \varnothing, b, A \}$

Взаимно положение на точка и множество

$\langle X, \Omega \rangle$ топологично пространство

  • $a \in X$, околност на точка $a$ ще наричаме всяко отворено множество, на което $a$ принадлежи. Т.е $B : B \in \Omega \And a \in B$ е околност.
  • Нека $A \subset X$. Тогава за всяка точка е валидно точно едно от следните
    1. $a$ е вътрешна за $A$, aко $\exists G : G \in \Omega \And a \in G \And G \subset A$ - т.е. съществува околност на $x$, която влиза във $A$.
    2. $a$ е външна за $A$, aко $\exists G : G \in \Omega \And a \in G \And G \cap A = \varnothing$ - т.е. съществува околност на $x$, която няма общи точки със $A$.
    3. $a$ е гранична за $A$, aко $\forall G : G \in \Omega \And a \in G \And A \cap G \neq \varnothing \And (X \setminus A) \cap G \neq \varnothing$ - т.е. всяка околност на $x$, има обща точка както със $A$, така и със допълнението на $A$.

Въз основа на тези дефиниции за положение на точка спрямо множество, за всяко множество $A$ може да образуваме следните множества:

  • $\partial A$ - граница на $A$ - състои се от всички гранични точки за $A$.
  • $\mathrm{Im} A$ - вътрешни точки за $A$
  • $\mathrm{Ext} A$ - външни точки за $A$

Твърдение:
$\mathrm{Im} A$ е най-голямото отворено множество, което се съдържа в $A$.
Т.е трябва да покажем, че:

(1)
\begin{align} \mathrm{Im} A \equiv \bigcup_{G \subset A \And G \in \Omega} G \end{align}

От едната страна стоят вътрешните точки за $A$, а от другата е обединението на всички отворени множества, вътрешни за $A$ (дясната страна е най-голямото отворено множество, което се съдържа във $A$, защото то от една страна е отворено, и се съдържа във $A$, от друга страна съдържа най-голямото отворено вложено в $A$).

Ще го докажем чрез влагане в 2те посоки.

  • За всяка точка от $\mathrm{Im} A$ има отворено множество, което я съдържа и е подмножество на $A$ (това следва от дефиницията на вътрешна точка). Т.е ако ние обединим тези множества за всяка една точка от $\mathrm{Im} A$ ще получим подмножество, на обединението на всички вложени множества (т.е подмножество на дясната страна), и във това подмножество естествено влизат всички точки от $\mathrm{Im} A$.
  • За всяка точка принадлежаща на дясната страна съществува поне едно отворено множество $G_0 \subset A$, която я съдъжа. В такъв случай тази точка е вътрешна за $A$ (от дефиницията). Така доказахме, че дясната страна е подмножество на лявата.

С това твърдението е доказано!

Още 2 свойства:

  • $\mathrm{Ext} A$ е отворено множество. Това е така, защото е равно на $\mathrm{Im} (X \setminus A)$, което както доказахме в предното твърдение е отворено множество.
  • $\partial A = X \setminus (\mathrm{Im} A \cup \mathrm{Ext} A)$ е затворено множество.

Затворена обвивка на множество

$\langle X, \Omega \rangle$ е топологично пространство
$[A] = A \cup \partial A$ - така се дефинира и отбелязва затворена обвивка на $A$

Свойства:

  1. $[A]$ е затворено множество (защото е допълнение на $\mathrm{Ext} A$ което е отворено множество)
  2. $[A]$ е най-малкото затворено множество, което съдържа $A$.

Доказателство на 2рото свойство:
Трябва да докажем, че:

(2)
\begin{align} [A] \equiv \bigcap_{F \supset A \And F \in \tilde \Omega} F \end{align}

Отново ще докажем чрез влагане на едната страна в другата.

  • $[A] = A \cup \partial A$. Очевидно $A$ е подмножество на дясната страна (защото там има сечение на надмножества на $A$). Да проверим дали $\partial A \subset F \quad \forall F \supset A \And F \in \tilde \Omega$. Нека $F$ е произволно затворено надмножество на $A$. Ще докажем че всяка точка от неговото допълнение (т.е всяка точка вън от него) не принадлежи на $\partial A$, с което ще докажем исканото. Е да но за всяка точка $a \in X \setminus F$, понеже $X \setminus F$ е отворено множество (защото е допълнение на затворено) и $(X \setminus F) \cap A = \varnothing$, защото $F \supset A$, то по дефиниция за външна точка $a \in \mathrm{Ext} A$. От тук следва че $a \notin \partial A$. Т.е от $a \notin F \Rightarrow a \notin \partial A$. Това е аналогично на $a \in \partial A \Rightarrow a \in F$, което пък е $\partial A \subset F$. Доказахме за произволно затворено надмножество на $A$, тогава е вярно за всички, тогава принадлежи на тяхното сечение.
  • В обратната посока просто трябва да обърнем внимание, че $[A]$ е затворено надмножество на $A$, от където следва че е едно от множествата $F$, които пресичаме от дясната страна. Със сигурност сечението е подмножество на всяко едно от множествата, участващи при получаването.

С това твърдението е доказано!

Релативна топология

$\langle X, \Omega \rangle$ е топология.
За всяко множество $A \subset X$ ще дефинираме следната топология $\Omega_A$:

(3)
\begin{align} \Omega_A = \{ C | \exists G \in \Omega \And C = G \cap A \} \end{align}

3те необходими условия за топология са изпълнени, следователно това е топология!

База на топология

$\langle X, \Omega \rangle$ е топология.
База на топологията ще наричаме такова множество $\Sigma \subset \Omega$, за което:

(4)
\begin{align} \forall G \in \Omega \Rightarrow G = \bigcup_{G_\Sigma \in \Sigma} G_\Sigma \end{align}

т.е че всяко отворено множество може да се получи като обединение на произволен брой множества от базата. Един вид ако разпишем всички възможни обединения на множества от базата ще получим цялата топология.

Сега ще докажем една много важна теорема, даваща необходими свойства на единствена база на дадена топология.

Теорема:
$X$ е множество и $\Sigma \subset 2^X$.
$\Sigma$ е база на единствена топология тогава и само тогава, когато:

  1. $\varnothing \in \Sigma$
  2. $X = \bigcup_{G_\Sigma \in \Sigma} G_\Sigma$
  3. $\forall A, B \in \Sigma,\ A \cap B \neq \varnothing \Rightarrow \forall c \in (A \cap B)\ \exists C \in \Sigma : c \in C \And C \subset (A \cap B)$

Доказателство:
Както сами виждате трябва да докажем 2 посоки:

  1. Ако $\Sigma$ е единствена топология, то са изпълнени 3те условия
  2. Ако са изпълнени 3те условия, то $\Sigma$ е единствена топология.

Първата посока е доста лесна: първо и второ свойство са очевидни. За 3тото свойство - сечението на 2 множества от \Sigma със сигурност е отворено множество, т.е множество от топологията. И то е обединение на множества от базата. Т.е всяка точка от сечението участва в поне едно множество от базата, което е подмножество на сечението.

Обратната посока е по-интересна. Ще докажем, че всяко множество $\Sigma$, което отговаря на 3те условия, отговаря и на необходимите условия за база на топологията.
Да образуваме $\Omega$ като празното множество, цялото множество и всички възможни обединения на множества от базата:

(5)
\begin{align} \Omega = \left\{ \varnothing, X, \bigcup G_\Sigma \right\} \end{align}

Да видим дали $\Omega$ изпълнява 3те условия за топология:
1. $\varnothing, X \in \Omega$ това е от построението
2. Произволно обединение на множества от $\Omega$ също е множество от $\Omega$. Това е вярно заради факта, че всяко множество от омега всъщност е обединение на множества от базата $\Sigma$.
3. Сечение на 2 множества от $\Omega$ принадлежи на $\Omega$:
Да си вземем 2 произволни множества : $A, B \in \Omega$. Ще проверим $A \cap B \overset{?}\in \Omega$.
Ще използваме факта, че 2те множества са обединения на множества от базата:

(6)
\begin{eqnarray} A &=& \bigcup_{G_\alpha \in \Sigma} G_\alpha\\ B &=& \bigcup_{G_\beta \in \Sigma} G_\beta \end{eqnarray}

Тогава нека разпишем сечението:

(7)
\begin{eqnarray} A \cap B &=& (\cup G_\alpha) \cap (\cup G_\beta)\\ &=& \bigcup_{\forall \alpha, \beta} (G_\alpha \cap G_\beta) \end{eqnarray}

От 3то свойство (на теоремата която доказваме) имаме, че $\forall a \in G_\alpha \cap G_\beta$ съществува $G_a \in \Sigma, a \in G_a$, такова че $G_a \subset G_\alpha \cap G_\beta$. Така получихме, че

(8)
\begin{align} G_\alpha \cap G_\beta = \bigcup_{a \in G_\alpha \cap G_\beta} G_a \end{align}

Това е вярно за произволни множества $G_\alpha, G_\beta \in \Sigma$.
С това доказахме, че сечението на 2 множества от $\Omega$ е обединение на някакъв брой множества, който от своя страна са обединения на множества от базата, с което доказахме 3тото необходимо условие и теоремата!

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License