Множества
Основни понятия
Множество се нарича съвкупност от обекти (елементи), които не се повтарят и не са подредени в специален ред. Тази съвкупност се разглежда като едно цяло.
Примери за множества
Ние сме се занимавали с множества още от училище. Примери за множества са множеството на естествените, целите, рационалните, реалните и комплексните числа $\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ и празното множество $\emptyset$, което не съдържа нито един елемент в себе си.
Основни релации между множества
Основните релации между множества са "подмножество", "равенство" и "строго подмножесво".
Подмножество
Дефиниция
Ако $A$ и $B$ са множества, то ще казваме, че $A$ е подмножество на $B$, ако всеки елемент на $A$ е елемент и на $B$.
Означаваме подмножеството със $\subseteq$, т.е. $A \subseteq B$.
Теорема:
Празното множество е помножество на всяко множество.
Доказателство:
Ако допуснем, че $\emptyset \nsubseteq A$, то това значи че има поне един елемент принадлежащ на празното множество, което не принадлежи на $A$, но по определение празното множество не съдържа никакви елементи (то затова му се вика празно) следователно не е възможно да съществува елемент в него, камо ли този елемент да не принадлежи на $A$. Стигайки то това заключение, приемаме че нашето първоначално допускане е грешно и с това доказваме теоремата.
Равенство
Дефиниция (Аксиома на обема)
Нека $A$ и $B$ са множества. Казваме, че $A = B$, ако $A$ е подмножество на $B$ и $B$ е подмножество на $A$.
Строго подмножество
Дефиниция
Нека $A$ и $B$ са множества. Казваме, че $A$ е строго подмножество на $B$, бележим $A \subset B$, ако $A$ е подмножество на $B$ и $A \neq B$
Операции с множества
Нека $A$ и $B$ са множества
Сечение
$A ∩ B = \{x | x ∈ A ∧ x ∈ B\}$
Казано по-просто, $A ∩ B$ е множество, за което е изпълнено, че всяко $x$, което принадлежи на $A$, принадлежи и на $B$
Обединение
$A ∪ B = \{x | x ∈ A ∨ x ∈ B\}$
Обединението на $A$ и $B$ е множество, за което е изпълнено, че всеки елемент принадлежи или на $A$, или на $B$
Разлика
$A \backslash B = \{x | x ∈ A ∧ x \notin B\}$
Разликата е множество, за което е изпълнено, че даден елемент принадлежи само на $A$, но не и на $B$.
Симетрична разлика
$A\bigtriangleup B = \{x | x ∈ A \space \& \space x \notin B \} ∨ \{x | x ∈ B \space \& \space x \notin A\}$
