Chu7

Някой от посещавалите упражнението да допълни!

[…]

=> \sum_{i=-\inf}^{\inf} N_{i,r-1}(t) = \sum_{i=k+1-r}^k (x_{i+r} - x_i) B_{i,r-1}(t) =

\sum_{i=k+1-r}^k {(. - t)_+^{r-1}[x_{i+1}, …, x_{i+r}] - (. - t)_+^{r-1}[x_i, …, x_{i+r-1}]} =

[ОЩЕ ЕДИН РЕД ЛИПСВА]

> t \in (x_k, x_{k+1})
> t < x_{k+1} < … < x_{k+r}
> x_{k+1} < x_{k+2-r} < … < x_k < t

[ОЩЕ ДВА РЕДА ЛИПСВАТ]

Ще използваме същите означения, както в предишните две задачи.

Задача. Нека r > 2. Да се докаже, че
(B_{i,r-1}(t))' = \frac {r-1} {x_{i+r} - x_i} (B_{i,r-2}(t) - B_{i+1,r-2}(t))

Решение:
B_{i,r-1}(t) = \cfrac {(. - t)_+^{r-1}[x_{i+1}, …, x_{i+r}] - (. - t)_+^{r-1} [x_i, …, x_{i+r-1}]}
{x_{i+r} - x_i}

Използваме, че диференцирането на отсечената степенна функция се извършва така, както на самата функция
(следва от дефиницията на отсечена степенна функция):

\frac d dt {(x-t)_+^{r-1}} = -(r-1)(x-t)_+^{r-2} при r > 2
(B_{i, r-1}(t))' = \cfrac {r-1} {x_{i+r} - x_i} {(. - t)_+^{r-2}[x_{i+1}, …, x_{i+r}] -
(. - t)_+^{r-2}[x_i, …, x_{i+r-1}]}

Първият израз е B-сплайн: B_{i+1, r-2}(t)
Вторият също: B_{i, r-2}(t)
Получаваме, каквото искаме (де да беше така! (^.^))


Задача. Нека r > 2. Да се докаже, че

\frac d dt {\cfrac {B_{i, r-1}(t)} {(x_{i+r} - t)^{r-1}} } = (r-1) \cfrac {B_{i,r-2}(t)} {(x_{i+r} - t)^r}

Ще използваме предишната задача и още не чух какво:

\frac d dt {\cfrac {B_{i, r-1}(t)} {(x_{i+r} - t)^{r-1}} } = \cfrac {B'_{i,r-1}(t)} {(x_{i+r} -t)^{r-1}} +
(r-1) \cfrac {B_{i,r-1}(t)} {(x_{i+r} - t)^r} =

= \cfrac { (r-1) \cfrac {x_{i+r}-t} {x_{i+r} - x_i} (B_{i,r-2}(t) - B_{i+1,r-2}(t)) + (r-1) B_{i,r-1}(t) }
{(x_{i+r} - t)^r}

= \frac {r-1} {(x_{i+r} - t)^r} (\cfrac {x_{i+r} - t} {x_{i+r} - x_i} (B_{i,r-2}(t) - B_{i+1,r-2}(t))
+ B_{i,r-1}(t)) =?is_it_equal? = (r-1)/(x_{r+r} - t)^r B_{i,r-2}(t)

Дали \cfrac {x_{i+r} - t} {x_{i+r} - x_i} (B_{i,r-2}(t) - B_{i+1,r-2}(t)) + B = B_{i,r-1}(t) = B_{i,r-2}(t) ?

<=> B_{i,r-1}(t) = (1 - \cfrac {x_{i+r} - t} {x_{i+r} - x_i}) B_{i,r-2}(t) +
\cfrac {x_{i+r} - t} {x_{i+r} - x_i} B_{i+1,r-2}(t)
<=> B_{i,r-1}(t) = \cfrac {t - x_i} {x_{i+r}-x_i} B_{i,r-2}(t) +
+ \cfrac {x_{i+r} - t} {x_{i+r} - x_i} B_{i+1,r-2}(t)

Това последното е вярно - доказвано е на лекции.


Почваме друга тема.
Полиноми на най-добро равномерно приложение

[a,b], f(x) - дефинирана в интервала [a,b]

E_n(f) = \underset {P \in \Pi_n} inf ||f - P|| , ||f|| = \underset {x \ in [a,b]} max |f(x)|
НДРП за f с полином от \Pi_n :

E_n(f) = ||f - P^*||, P^* \in \Pi_n - ПНДРП за f от \Pi_n

Теоремата (на Чебишев за алтернанса):
Необходимо и достатъчно условие за това, P^* \in \Pi_n да е ПНДРП за f в [a,b], е да съществуват n+2 точки на
алтернанс в [a,b]: (a \le) x_0 < x_1 < \dots < x_{n+1} (\le b), такива, че
f(x_i) - P^*(x_i) = (-1)^i \epsilon ||f-P^*||, \epsilon = -1 или 1, за i = 0, …, n+1

P^*(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n . Имаме +1 неизвестни - коефициентите на полинома.
Неизвестни: x_0 < x_1 < \dots < x_{n+1} - точките на алтернанс

Ако f \in C^1[a,b], тогава точките (x_i)_{i=0}^{n+1}, които са вътрешни за интервала [a,b], са точки на локален
екстремум за f - P^*
=> f'(x) - P^*'(x) = 0 за тези точки x_i , вътрешни за [a,b] (тоест, за неизвестните точки на алтернанс),
Имаме n+1 равенства от условията за алтернанс (колкото са и коефициентите на P^*(x))
=> Система с толкова неизвесктни, колкото са и уравненията.
Проблем: уравненията са нелинейни по отношение на точките на алтернанс, което прави системата трудна
за решаване (примерно, не става по метода на Гаус). Повече по въпроса - следващия път.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License