Контролно 4

Условия

IMG_2975.JPGIMG_2976.JPG

Задача 1

Намерете полинома от първа степен на най-добро равномерно приближение в интервала [-1; 1] за функцията f(x) = |x - 0.5|

Задача 2

Намерете полинома от първа степен на най-добро равномерно приближение в интервала [0; 1] за функцията $f(x) = \frac{1}{x+1}$

Задача 3

Намерете полинома от втора степен на най-добро равномерно приближение в интервала [-1; 1] за функцията $f(x) = x^3$

Задача 4

Намерете полинома от втора степен на най-добро равномерно приближение в интервала [-1; 1] за функцията $f(x) = |x|$

Задача 5

Да се докаже, че ако $P_n(x)$ е ортогонален полином в $[a, b]$, то всичките му корени са разположени в интервала $(a, b)$.

Задача 6

Докажете, че всеки три ортогонални при едно и също тегло полиноми $P_{n-1}(x), P_n(x), P_{n+1}(x)$ увовлетворяват рекурентна връзка от вида:

(1)
\begin{equation} P_{n+1}(x) = (A_n x + B_n)P_n(x) + C_n P_{n-1}(x) \end{equation}

Задача 7

Намерете полинома от първа степен на най-добро средноквадратично приближение в $[0,1]$ при тегло $\omega (x) = 1$ за функцията $f(x) = \mathrm{ln}(1+x)$.

Задача 8

Намерете полином от първа степен, приближаващ данните от таблицата:

xi 0 1 2 3
yi 2 4 2 1

Задача 9

Намерете полином от първа степен, приближаващ данните от таблицата:

xi -1 0 1 2
yi 2 1 0 -1
wi 1 1 2 1

Задача 10

Да се реши преопределената система:

(9)
\begin{array} {|ccccr} 2x & + & y & = & 1 \\ x & - & y & = & 1 \\ x & - & 2y & = & -2 \\ \end{array}

Задача 11

Нека функцията $f(x) \notin \pi_n$ е непрекъсната в $[-1,1]$ и $p(x)$ е полиномът на най-добро средноквадратично приближение за $f$ от степен $n$ в $[-1,1]$ с тегло $1$. Докажете, че разликата $f(x)-p(x)$ има поне една смяна на знака в $(-1,1)$

Задача 13

Да се намери естествено число $n$, за което $n$-тата съставна квадратурна формула на правоъгълниците пресмята интегралa
$\int_0^2\sin (x)dx$ с грешка ненадминаваща $\epsilon = 10^{-5}$.

Задача 14

Да се намери естествено число $n$, за което $n$-тата съставна квадратурна формула на трапеците пресмята интегралa

$\int_0^2\cos (x)dx$ с грешка ненадминаваща $\epsilon = 10^{-5}$.

Задача 15

Да се намери естествено число $n$, за което $n$-тата съставна квадратурна формула на Симпсон пресмята интегралa

$\int_{-1}^1 e^x dx$ с грешка ненадминаваща $\epsilon = 10^{-7}$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License