Контролно 3

Тука сложи заглавие


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Задача 1

Докажете, че функциите $\{|x_k - t|\}_{k=0}^{n}$ са линейно независими в интервала $[a,b]$ при $a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$

Решение:

Задача 2

Нека $I_1(f;x)$ е сплайнът от $S_1(x_1,x_2,...,x_{n-1})$, който интерполира функцията $f(x)$ в точките $a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$. Намерете коефициентите в представянето
$I_1(f;x) = \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} c_k|x-x_k|$

Решение:

Задача 3

Нека $I_1(f;x)$ е сплайнът от $S_1(x_1,x_2,...,x_{n-1})$, който интерполира функцията $f(x)$ в точките $a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$. Докажете, че
$max_{x \in [a,b]} |f(x)-I_1(f;x)|\leq \omega(\vartriangle_n)$,
където $\omega(\delta) := \max \{|f(x) - f(y)|: \ |x-y| \leq \delta,\ x,y \in [a,b] \}$ и $\Delta_n = \max_{0 \leq i \leq n-1} (x_{i+1} - x_i)$

$\Delta_n = \max_{0 \leq i \leq n-1} (x_{i+1} - x_i)$

Решение:

Задача 4

Нека $f \in C^1[0,1]$ и $x_k = k/n, \ k=0,1, \dots, n$. Ако $I_1(f;x)$ е сплайнът от $S_1(x_1, x_2, \dots, x_{n-1})$, който интерполира функцията $f(x)$ в точките $\{x_k\}_{k=0}^n$, докажете, че съществува константа $c > 0$, независеща от $n$, такава, че за всяко $x \in [0, 1]$ е изпълнено:
$|f(x) - I_1(f;x)| \leq \frac{c}{n}$

Решение:

Задача 5

Нека $f \in C^2[0,1]$ и $x_k = k/n, \ k=0,1, \dots, n$. Ако $I_1(f;x)$ е сплайнът от $S_1(x_1, x_2, \dots, x_{n-1})$, който интерполира функцията $f(x)$ в точките $\{x_k\}_{k=0}^n$, докажете, че съществува константа $c > 0$, независеща от $n$, такава, че за всяко $x \in [0, 1]$ е изпълнено:
$|f(x) - I_1(f;x)| \leq \frac{c}{n^2}$

Решение:

задача 6

Нека $B(t)$ е В-сплайнът от степен 2 с възли $x_0 = 0,\ x_1=1,\ x_2 = 2,\ x_3 = 4$. Намерете явния вид на $B(t)$ в интервала $[x_1, x_2]$.

задача 7

Нека $B(t)$ е В-сплайнът от степен 2 с възли $x_0 = 0,\ x_1=1,\ x_2 = 2,\ x_3 = 4$. Намерете явния вид на $B(t)$ в интервала $[x_2, x_3]$.

задача 8

Нека $B(t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_0, x_1, \dots, x_r]$, където $x_0 < x_1 < \dots < x_r$. Докажете, че $B(t) = 0$ при $t \notin [x_0, x_r]$.

В случай че си прост(като мене1) и не си ходил на лекции(като мене), $(\cdot -t)$ означава $(x-t)$
И тъй като никъде в Интернетя не се среща подобно означение, остава ми да предположа, че в учебника е било правописна грешка, а преподавателят не е схванал майтапа.

задача 9

Нека $B(t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_0, x_1, \dots, x_r]$, където $x_0 < x_1 < \dots < x_r$. Докажете, че $B(t) > 0$ при $t \in (x_0, x_r)$.

задача 10

Нека $\{x_i\}$ е безкрайна редица от различни възли и нека $B_i(t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+r} ]$. Докажете, че за всяко $m < N$, В-сплайните $\{B_i(t)\}_{i = m}^N$ са линейно независими в $(- \infty, \infty)$.

задача 11

Нека $\{x_i\}$ е безкрайна редица от различни възли и нека $B_{i, r-1} (t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+r} ]$. Докажете, че за всяко $t \in \mathbb{R}$ е изпълнено
$\sum_{k = - \infty}^{\infty} (x_{k+r} - x_k) B_{k, r-1} (t) = 1$

задача 12

Нека $\{x_i\}$ е безкрайна редица от различни възли и нека $B_{i, r-1} (t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+r} ]$. Докажете, че за всяко $k \in \mathbb{N}$ е изпълнено
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} B_{k, r-1}(t), dt = \frac{1}{r}$

задача 13

Нека $\{x_i\}$ е безкрайна редица от различни възли и нека $B_{i, r-1} (t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+r} ], \ r \geq 2$. Докажете, че е изпълнена рекурентната връзка
$B_{i, r-1}(t) = \frac{t - x_i}{x_{i+r} - x_i} B_{i, r-2} (t) + \frac{x_{i+r} - t}{x_{i+r} - x_i} B_{i+1, r-2}(t)$

задача 14

Нека $\{x_i\}$ е безкрайна редица от различни възли и нека $B_{i, r-1} (t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+r} ]$, където $r > 2$ . Докажете, че
$\frac{d}{dt} \{B_{i, r-1}(t)\} = \frac{r-1}{x_{i+r} - x_i} \Big( -B_{i+1, r-2}(t) + B_{i, r-2}(t) \Big)$

задача 15

Нека $\{x_i\}$ е безкрайна редица от различни възли и нека $B_{i, r-1} (t) = (\cdot - t)^{r-1}_{+} [x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+r} ]$, където $r > 2$ . Докажете, че
$\frac{d}{dt} \Big\{ \frac{B_{i, r-1}(t)}{(x_{i+r} - t)^{r-1}} \Big\} = (r-1) \frac{B_{i, r-2}(t)}{(x_{i+r} - t)^r}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License