Контролно 2

Тук ще има задачи, които *вероятно* ще ги има на контролно 2.

задача 1

Нека $\{x_i\}_{i=0}^n$ са разлини точки. Намерете в явен вид алгебричен полином $\Phi_{k,0} \in \Pi_{2n+1}$, удовлеторяващ интерполационните условия:

(1)
\begin{eqnarray} & &\Phi_{k,0}(x_i) = 0, i \in \{0,1,\dots, n\} \setminus \{k\}, \ \ \Phi_{k,0}(x_k) = 1 \\ & &\Phi'_{k,0} = 0, i = 0,1, \dots, n \end{eqnarray}

задача 2

Нека $\{x_i\}_{i=0}^n$ са разлини точки. Намерете в явен вид алгебричен полином $\Phi_{k,1} \in \Pi_{2n+1}$, удовлеторяващ интерполационните условия:

(2)
\begin{eqnarray} & &\Phi_{k,1}(x_i) = 0, i = 0,1, \dots, n \\ & &\Phi'_{k,1} = 0, i \in \{0,1,\dots, n\} \setminus \{k\}, \ \ \Phi'_{k,1}(x_k) = 1 \end{eqnarray}

задача 3

Нека $\{t_i\}_{i=1}^m$ и $\xi$ са различни точки, да се докаже, че

(3)
\begin{align} \bigg((x - \xi)f(x)\bigg)[\xi, t_1, t_2, \dots, t_m] = f[t_1, t_2, \dots, t_m] \end{align}

задача 4

Нека $\{x_i\}_{i=0}^n$ са различни точки, различни от нула. Ако $f(x) = \frac{1}{x}$, намерете с помощта на формулата на Стефенсон-Поповичу $f[x_0, x_1, \dots, x_n]$.

задача 5

Нека $\{x_i\}_{i=0}^n$ са различни точки, различни от нула. Ако $f(x) = \frac{1}{x^2}$, намерете с помощта на формулата на Стефенсон-Поповичу $f[x_0, x_1, \dots, x_n]$.


Задача 6

Нека $\{ x_i \}_{0}^{n}$ са различни точки, различни от нула. Ако $f(x) = x^{n+1}$, намерете с помощта на формулата на Стефансон-Поповичу $f[x_0, \cdots, x_n]$.

Задача 7

Нека $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$. Ако $k \in \{ 1,2,\cdots, n \}$, докажете, че:

(17)
\begin{align} \sum_{i=k}^{n} \frac{1}{\omega'(x_i)} \ne 0 \end{align}

Задача 8

Като използвате връзката между разделени и крайни разлики и формулата на Стефансон-Поповичу, докажете тъждеството

(20)
\begin{align} \sum\limits_{k = 0}^n {( - 1)^k \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right)\frac{1}{{2k + 1}} = \frac{{2^{2n} (n!)^2 }}{{(2n + 1)!}}} \end{align}

Задача 9

Като използвате връзката между разделени и крайни разлики, докажете тъждеството:

(24)
\begin{align} \sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}j^k = \begin{cases} 0 & k = 0,1, \cdots, n-1 \\ n! & k = n \\ \end{cases} \end{align}

Задача 10

Като използвате връзката между разделени и крайни разлики, докажете тъждеството:

(26)
\begin{align} \sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}\binom{m-j}{k} = 0, m \in N, k = 0, 1, \cdots, n-1 \end{align}

Задача 11

Изведете явна формула за тригонометричния вид на полином от ред $n$, имитиращ дадена функция $f$ в точките $x_k = \frac{2k\pi}{2n+1}$ за $k = 0, 1, \cdots, 2n$.

Задача 12

Нека $\alpha_0 < \alpha_1 < \cdots < \alpha_n$
Докажете, че функциите $\{e^{\alpha_0x}, e^{\alpha_1x}, \cdots, e^{\alpha_nx} \}$ образуват Чебишова система в $(-\infty,\infty)$.


Задача 13

Дадени са $\alpha_0 < \alpha_1 < \cdots < \alpha_n$
Да се докаже, че $\{t^{\alpha_0}, t^{\alpha_1}, \cdots, t^{\alpha_n} \}$ образуват Система на Чебишов.


Задача 14

Дадено е $f(x) \in C^n[a,b], f^{(n)} \ne 0 \forall x \in (a,b)$
Да се докаже, че ${1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}, f(x)}$ образуват чебишова система в [a,b].


Задача 15

Докажете, че $\{ 1, x, x \cos x \}$ образуват Чебишова система върху $[ 0, \frac{\pi}{2}]$.

Задача 16

Докажете, че $\{ 1, x, x \sin x \}$ образуват Чебишова система върху $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Задача 17

Докажете, че функциите $\{sin(x), sin(2x) \}$ не образуват чебишова система в $[0, \pi/2)$.


Задача 18

Докажете, че функциите $\{1, cos(x) \}$ образуват чебишова система в $[0, \pi]$.


Задача 19

Докажете, че функциите $\{1, cos(x) \}$ не образуват чебишова система в $[0, 2\pi)$.


Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License