Числени методи, първо контролно - условия (и решения)

страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Задача 1

Докажете, че ако $\{ x_i \}_{i=0}^{n}$ са различни точки в интервала $[a, b]$, и $f(x) \in C^{n+1}[a, b]$, тогава за всяко $x$ съществува точка $\xi \in [a, b]$, такава че:

(1)
\begin{align} f(x) - L_n(f; x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega(x) \end{align}

Задача 2

Докажете, че ако $\{ l_k(x) \}_{k=0}^{n}$ са базисните полиноми на Лагранж за интерполиране в различните точки $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$, то:

(2)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} (x - x_k)^m l_k(x) = 0 \quad m \in \{ 0, 1, \cdots, n \} \end{align}

Задача 3

Докажете, че ако $\{ l_k(x) \}_{k=0}^{n}$ са базисните полиноми на Лагранж за интерполиране в различните точки $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$, то:

(3)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} (x - x_k)^{n+1} l_k(x) = (-1)^n \omega(x) \end{align}

Задача 4

Докажете, че ако $\{ l_k(x) \}_{k=0}^{n}$ са базисните полиноми на Лагранж за интерполиране в различните точки $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$, то:

(5)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} (x - x_k)^{n+2} l_k(x) = (-1)^n \omega(x) \sum_{k=0}^{n} (x - x_k) \end{align}

Задача 5

Докажете, че ако $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$ са различни точки, и $p(x) \in \pi_n$, то:

(6)
\begin{align} \frac{p(x)}{\omega(x)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{p(x_k)}{(x-x_k)\omega'(x_k)} \end{align}

Задача 6

Като използвате интерполационната формула на Лагранж, докажете тъждеството:

(7)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{m}{n} \binom{n}{k}\frac{1}{m-k} = \frac{1}{m-n} \quad m > n \ge 0 \end{align}

Задача 7

Като използвате интерполационната формула на Лагранж, докажете тъждеството:

(9)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{m}{n} \binom{n}{k}\frac{k}{m-k} = \frac{m}{m-n} \quad m > n \ge 1 \end{align}

Задача 8

Изведете интерполационната формула на Нютон (с разделени разлики)

Задача 9

Нека $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$ са различни точки. Като използвате свойствата на разделените разлики, докажете тъждеството:

(10)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} \frac{x_k^m}{\omega'(x_k)} = 0 \quad m \in \{0, 1, \cdots, n-1\} \end{align}

Задача 10

Нека $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$ са различни точки. Като използвате свойствата на разделените разлики, докажете тъждеството:

(11)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} \frac{x_k^n}{\omega'(x_k)} = 1 \end{align}

Задача 11

Нека $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$ са различни точки. Като използвате свойствата на разделените разлики, докажете тъждеството:

(12)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} \frac{\omega''(x_k)}{\omega'(x_k)} = 0 \end{align}

Задача 12

Нека $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$ са различни точки. Като използвате свойствата на разделените разлики, докажете тъждеството:

(13)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} x_k \frac{\omega''(x_k)}{\omega'(x_k)} = n(n+1) \end{align}

Задача 13

Нека $\{ x_k \}_{k=0}^{n}$ са различни точки. Като използвате свойствата на разделените разлики, докажете тъждеството:

(14)
\begin{align} \sum_{k=0}^{n} \frac{x_k^{n+1}}{\omega'(x_k)} = \sum_{k=0}^n x_k \end{align}

Задача 14

Нека фунцията $f(x)$ има производни от всякакъв ред в интервала $[a, b]$, и съществуват положителни константи $C, M$, такива че за всяко естествено число $m$ е изпълнено:

(15)
\begin{align} |f^{(m)}(x)| \le C.M^m \quad \forall x \in [a, b] \end{align}

Да се докаже, че при всеки избор на интерполационни възли $a \le x_0 < x_1 < \cdots < x_n \le b$ е изпълнено:

(16)
\begin{align} \lim_{n \to \infty} \max_{x \in [a, b]}|f(x) - L_n(f; x)| = 0 \end{align}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License