Изпит

КН 18.09.2008

Първи вариант

зад.1
$p(x) = 2x^3-x-1$

зад.2
$x=1, \quad y=-1$

зад.3
Да се намери Гаусовата квадратурна формула с два възела в интервал $[0, 1]$ при тегло $\mu(x) = x - x^2$.
Решение:
Търсим полином $g(x) = x^2 + ax + b$, който е ортогонален на полиномите от $\pi_1$ в интервал $[0, 1]$ и тегло $\mu(x)$:

(1)
\begin{array} {|ccc} \int_0^1 (x - x^2)(x^2 + ax + b)\ dx &=& 0 \\ \int_0^1 (x - x^2)(x^2 + ax + b)x\ dx &=& 0 \\ \end{array} \iff \begin{array}{|ccc} \frac{1}{12}a + \frac{1}{6}b + \frac{1}{20} &=& 0 \\ \frac{1}{20}a + \frac{1}{12}b + \frac{1}{30} &=& 0 \\ \end{array} \iff \begin{array}{|ccc} a &=& -1 \\ b &=& \frac{1}{15} \\ \end{array}

Корените на уравнението $g(x) = 0$ са $x_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{\frac{11}{15}}}{2}$.

Т.е Гаусовата формула има вида:

(2)
\begin{equation} Q(x) = A_1 f(x_1) + A_2 f(x_2) \end{equation}

Сега остава да използваме, че $Q(x)$ е точна за полиноми от степен 0 и 1 (тя е точна до 3та, но така сметката е най-лесна).

(3)
\begin{eqnarray} & &A_1 + A_2 = \int_0^1 \mu(x)\ dx = \frac{1}{6} \\ & &A_1 x_1 + A_2 x_2 = \int_0^1 \mu(x) x\ dx = \frac{1}{12} \\ & &A_1 = A_2 = \frac{1}{3} \end{eqnarray}
(4)
\begin{align} Q(x) = \frac{1}{3} f\left(\frac{1-\sqrt{\frac{11}{15}}}{2}\right) + \frac{1}{3} f\left(\frac{1+\sqrt{\frac{11}{15}}}{2}\right) \end{align}

Теория

  • Дайте определение за Чебишова система от функции в интервал $[a,b]$.
  • Формулирайте теоремата на Чебишов за алтернанса. Докажете достатъчността на изискването за алтернанс в тази теорема.
  • Формулирайте и докажете теоремата за оценка на грешка в интерполационна квадратурна формула.
  • Напишете формулта на хордите за числено намиране на корен на нелинейно уравнение.

Втори вариант

зад.1
$p(x) = -x^3+x^2+6x$

зад.2
$x=1, \quad y=0$

зад.3
Да се намери квадратурна формула на Лобато с 3 възела в интервала $[0, 1]$ при функция на теглото $\mu(x) = x$.

Решение:
Търсим полином от първа степен $x - x_1$, който е ортогонален на $\pi_0$ в интервал $[0, 1]$ и тегло $\mu(x)\sigma(x) = x^2(x-1)$. Използваме

(5)
\begin{align} \int_0^1 x^2(x-1)(x - x_1)\ dx = 0 \end{align}

От тук намираме $x_1 = \frac{3}{5}$.

Сега използваме, че формулата е $Q(f) = B_1 f(0) + B_2 f(1) + A_1 f(\frac{3}{5})$, и е точна за полиноми до степен 3, следователно е точка за $f(x) = 1,\ f(x) = x,\ f(x) = x^2$. Просто разписваме системата:

(6)
\begin{array} {|ccccccc} B_1 f_0(0) &+& B_2 f_0(1) &+& A_1 f_0(\frac{3}{5}) &=& \int_0^1 x\ dx \\ B_1 f_1(0) &+& B_2 f_1(1) &+& A_1 f_1(\frac{3}{5}) &=& \int_0^1 x^2\ dx \\ B_1 f_2(0) &+& B_2 f_2(1) &+& A_1 f_2(\frac{3}{5}) &=& \int_0^1 x^3\ dx \\ \end{array} \iff \begin{array}{|ccccccc} B_1 &+& B_2 &+& A_1 &=& \frac{1}{2} \\ B_1 0 &+& B_2 1 &+& A_1 \frac{3}{5} &=& \frac{1}{3} \\ B_1 0^2 &+& B_2 1^2 &+& A_1 \left(\frac{3}{5}\right)^2 &=& \frac{1}{4} \\ \end{array}

От тук намираме $B_1 = \frac{1}{36},\ B_2 = \frac{1}{8}, A_1 = \frac{25}{72}$.
Значи формулата е:

(7)
\begin{align} Q(f) = \frac{f(0)}{36} + \frac{B_2 f(1)}{8} + \frac{25}{72} f\left(\frac{3}{5}\right) \end{align}

Теория

  • Дайте определение за строго нормирано линейно пространство. Докажете, че елементът на приближение в строго нормирано линейно пространство е единствен.
  • Формулирайте първата теорема на Вайерщрас
  • Докажете, че всеки три последователни ортогонални полинома (в един и същ интервал $[a,b]$ и при едно и също тегло) удовлетворяват тричленна рекурентна връзка.
  • Напишете формулата на Нютон за числено намиране на корен на нелинейно уравнение.

КН - Поправителен изпит, септември 2012

chm_popravitelna_kn_sept_2012.jpg

КН - 2 ри поток КН Февруари 2013

8526154948_a8e7aaa543_z.jpg

++КН Февруари 2014

2014_02_07_11_28_27.jpg

++КН Януари 2015 П.С. И горен курс минаха :)

7887374M.jpg
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License