Table of Contents
|
Крайни разлики
В предната тема разглеждахме разделени разлики, като интерполационните възли бяха произволни точки. В тази глава ще се съсредоточим върху частния случай, в който интерполационните възли са на равно разстояние помежду си. Именно:
$x_0, x_1, \cdots, x_n, \cdots$ са интерполационните възли, където $x_i = x_0 + ih$, за $i \in \mathbb{N}$ и $h > 0$, което ще наричаме стъпка.
Функцията $f(x)$ трябва да е дефинирана в точките $\{ x_i \}$, като за краткост ще отбелязваме $f_i = f(x_i)$.
Дефиниция (крайна разлика)
Крайна разлика от $k$ти ред дефинираме индуктивно по следния начин:
- $\Delta^0 f_i = f_i$
- $\Delta^k f_i = \Delta^{k-1}f_{i+1} - \Delta^{k-1}f_i$
Вместо $\Delta^1$ ще пишем просто $\Delta$.
Пример
- $\Delta^1 f_i = \Delta^0 f_{i+1} - \Delta^0f_i = f_{i+1} - f_i$
- $\Delta^2 f_i = \Delta f_{i+1} - \Delta f_i = (f_{i+2} - f_{i+1}) - (f_{i+1} - f_i) = f_{i+2} - 2f_{i+1} + f_i$
- $\Delta^3 f_i = f_{i+3} - 3f_{i+2} +3f_{i+1} - f_i$
Твърдение (връзка между крайна и разделена разлика)
Сигурно сте забелязали, че разликата в дефинициите на 2те разлики е, че при крайната не се дели на нищо самата разлика. Ето и формулата, с която може да се пресмятат разделените разлики във вид на крайни и обратно:
(1)Доказателство: Доказателството се прави тривиално по индукция:
База на индукцията: $f[x_0] = f(x_0) = f_0 = \Delta^0 f_0 = \frac{\Delta^0 f_0}{h^0 . 0!}$ - вярно
Индукционно предположение: Допускаме, че $f[x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}] = \frac{\Delta^{n-1} f_0}{h^{n-1}.(n-1)!}$ е вярно
Индукционна стъпка:
Теорема (директна формула за крайна разлика)
В сила е следната формула:
(3)Доказателство: Ще използваме връзката между разделена и крайна разлика:
Първо да забележим, че $f[x_i, x_{i+1}, \cdots, x_{i+n}] = \frac{\Delta^n f_i}{n! . h^n}$ е еквивалентно на $\Delta^n f_i = n! h^n f[x_i, x_{i+1}, \cdots, x_{i+n}]$
На кратко ще разпишем разделената разлика, ще вземем $n!$ и ще видим, че полученото можем да нагласим до нютонов бином.
тук е момента да положим $l = k - i$.
(5)с което формулата е доказана!
Свойства на крайните разлики
- $\Delta^k(f+cg)_i = \Delta_k f_i + c\Delta^k g_i$, за произволни функции $f, g$ и константа $c$;
- Ако $f(x)$ е полином: $f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$, тогава $\Delta^n f_0 = n! h^n a_n$;
Формули на Нютон за интерполиране напред/назад
Дефиниция (обобщен биномен коефициент)
Нека $t \in \mathbb{R}$ и $k \in \mathbb{N}_0$. Дефинираме:
(6)Вече можем да пресмятаме биномни коефициенти с нецели коефициенти.
Формула на Нютон за интерполиране напред в равноотдалечени възли
Или още известна като последния да затвори вратата.
(7)Доказателство: Да си припомним първо формулата за интерполиране на Нютон:
(8)Сега ще заместим разделената разлика с крайна разлика (по вече познатата ни формула) и също ще положим $x = x_0 + th$, където $t \in \mathbb{R}$ (отместване в брой възли от началото):
(9)Обръщам внимание, че това е само при равноотдалечени възли - възлите трябва да са на едно и също разстояние $h$ един от друг.
Формула на Нютон за интерполиране назад в равноотдалечени възли
(10)Доказателство: Абсолютно по същия начин като горната - просто полагаме $x$ да бъде $x_n + th$ (отместване в брой възли от края). Нямам никаквно намерение/желание да го разписвам :)