Интерполационни квадратурни формули. Квадратурни формули на правоъгълниците, трапеците и Симпсон, представяне и оценка на грешките им.
страницата се нуждае от дописване/преглеждане
Table of Contents
|
Бележки:
Формула на Лайбниц-Нютон:
$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
където $F'(x) = f(x)$, т.е $F(x)$ е примитивна функция на $f(x)$.
В тази тема се разглежда въпросът за численото интегриране и се поставя следната интерполационна
Задача
Дадени са точките $a \leq x_1 < x_2 < \dots < x_n \leq b$ и съответните функционални стойности $\{f(x_i)\}_{i=1}^{n}$.
Търсим приближение за $I(f) = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$.
Решение:
Можем да построим $L_{n-1}(f;x) = \sum_{k=1}^n l_k(x) f(x_k)$ - интерполационният полином за $f(x)$ с възли $x_1, x_2, \dots, x_n$
Тук, припомням, $\displaystyle l_k(x) = \prod_{i = 1, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$
Тогава
(1)Получаваме
(2)където означаваме $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} l_k(x) dx = a_k, \ k = 1, 2, \dots, n$
Дефиниция (квадратурна формула)
Формула за приближение, в която определеният интеграл се приближава с линейна комбинация на стойностите на подинтегралната функция или нейни производни в краен брой точки, се нарича квадратурна формула.
Формулата $Q(f) = \sum_{k=1}^n a_k f(x_k)$ е квадратурна формула
Точките $\{x_k\}_{k=1}^n$ се наричат възли на квадратурната формула.
Коефициентите $\{a_k\}_{k=1}^n$ се наричат коефициенти на квадратурната формула.
Дефиниция (интерполационна формула)
Ако квадратурната формула е $Q(f) = \sum_{k=1}^n a_k f(x_k)$, то тя се нарича интерполационна ако е получена посредством
$\displaystyle Q(f) = \int\limits_{a}^{b} L_{n-1}(f;x) dx$
т.е коефициентите и се получават по формулата
$\displaystyle a_k = \int\limits_{a}^{b} l_k(x) dx, \ k = 1, 2, \dots, n$
Дефиниция (точност на квадратурна формула)
Ще казваме, че квадратурната формула $Q$ е точна за $f$, ако остатъкът е равен на нула.
Остатъкът бележим с $R(Q;f) = I(f) - Q(f)$.
Теорема
Квадратурната формула $Q(f) = \sum_{k=1}^n a_k f(x_k)$ е интерполационна, т.с.т.к. тя е точна за $\forall f \in \Pi_{n-1}$
Представяне и оценка на грешката за интерполационни формули
От формулата на Нютон, която гласи следното
$f(x) = L_{n-1}(f;x) + f[x_1, x_2, \dots, x_n, x]. \omega(x)$,
чрез директно интегриране получваме
Тук, отново напомням, $\omega(x) = (x - x_1)(x - x_2) \dots (x - x_n)$
Така получваме и представянето на грешката (остатъка)
(4)Два специални случая
1.
Ако $f \in C^n[a,b]$ (т.е $f$ е достатъчно гладка) и $\omega(x)$ не си сменя знака в $[a,b]$, тогава
2.
Ако $f \in C^n[a,b]$, $\omega(x)$ си сменя знака само в една точка от $(a,b)$ и $\int\limits_a^b \omega(x) dx = 0$
Тази точка е един от възлите, но нека я обозначим с $x_{n+1}$.
Тогава $(x - x_{n+1})\omega(x)$ не си сменя знака в $(a,b)$.
Знаем, че
$\displaystyle f[x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}, x] = \frac{f[x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}] - f[x_1, x_2, \dots, x_n, x]}{x_{n+1} - x}$
от където следва, че
$f[x_1, \dots, x_n,x] = f[x_1, \dots, x_n, x_{n+1}] + f[x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}, x](-x_{n+1} + x)$
Тогава
(6)Елементарни квадратурни формули
Квадратурна формула на правоъгълниците
Нека $n = 1$ и $x_1 = \frac{a+b}{2}$.
$\displaystyle L_0(f;x) = f\big(\frac{a+b}{2}\big) \Longrightarrow Q(f) = \int\limits_a^b L_0(f;x) dx = (b-a)f\big(\frac{a+b}{2}\big)$
Формулата
$\displaystyle Q^{\mathrm{pr}}(f) = (b - a) f \Big(\frac{a+b}{2}\Big)$
се нарича квадратурна формула на правоъгълниците
$\omega(x) = x - \frac{a+b}{2}$ - сменя си знака в $x = \frac{a+b}{2}$
Освен това,
$\displaystyle \int\limits_a^b \Big(x - \frac{a+b}{2}\Big) dx = \frac{\Big(x - \frac{a+b}{2} \Big)^2}{2} \Bigg|_a^b = 0$
Т.е попадаме във втория специален случай.
Следователно, ако $f \in C^2[a,b]$, то тогава
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{pr}};f) = \frac{f''(\xi)}{2!} \int\limits_a^b \Big(x - \frac{a+b}{2}\Big)^2 dx$
И след като си сметнем интеграла (надявам се всеки да може)
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{pr}}; f) = \frac{f''(\xi)}{24} (b - a)^3$
Квадратурна формула на трапеците
Нека $n = 2,\ x_1 = a$ и $x_2 = b$.
$\displaystyle L_1(f;x) = \frac{b - x}{b - a}f(a) + \frac{x - a}{b - a}f(b) \Longrightarrow Q(f) = \int\limits_a^b L_1(f;x) dx = \frac{b-a}{2}\big(f(a) + f(b)\big)$
Формулата
$\displaystyle Q^{\mathrm{tr}}(f) = \frac{b-a}{2} \big(f(a) + f(b)\big)$
се нарича квадратурна формула на трапеците
$\omega(x) = (x - a)(x - b)$ - не си сменя знака в $(a,b) \Longrightarrow$ попадаме в първия специален случай.
Следователно
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{tr}}; f) = - \frac{f''(\xi)}{2!} \int\limits_a^b (x - a)(x - b) dx$
Т.е
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{tr}}; f) = - \frac{f''(\xi)}{12}(b-a)^3$
NB: Ако $f''(x) > 0$ в $[a,b]$, тогава $R(Q^{\mathrm{pr}};f) > 0$ и $R(Q^{\mathrm{tr}};f) < 0$.
Изпълнено е също, че $Q^{\mathrm{pr}}(f) < I(f) < Q^{\mathrm{tr}}(f)$
Ако $f''(x) < 0$ в $[a,b]$ е изпълнено обратното.2
Квадратурна формула на Симпсон
Нека $n = 3,\ x_1 = a,\ x_2 = \frac{a+b}{2}$ и $x_3 = b$
Използваме квадратурната формула на правоъгълниците с възел $x_2$ и получаваме
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) dx = (b - a) f\big(\frac{a+b}{2}\big) + \frac{f''(\xi)}{24} (b - a)^3$
Сега използваме квадратурната формула на трапеците с възли $x_1,\ x_3$ и получваме
$\displaystyle \int\limits_a^b f(x) dx = \frac{b-a}{2} f(a) + \frac{b-a}{2} f(b) + \frac{f''(\eta)}{12} (b-a)^3$
Умножаваме горното уравнение с някаква константа $\alpha$, а долното - с $1 - \alpha$ и ги събираме.
$\alpha$ ще я изберем така, че квадратурната формула , която получим да е точна за $f(x) = x^2$.
Получаваме
(7)Искаме така получения остатък $\star$ да е 0.
Освен това, когато $f(x) = x^2$, то $f''(xi) = f''(\eta) = 2$
Следователно $\alpha$ трябва да увлетворява следното уравнение
$\displaystyle \alpha - 2(1 - \alpha) = 0 \iff \alpha = \frac{2}{3}$
Така получихме следвата квадратурна формула:
$\displaystyle Q(f) = \frac{2}{3} (b-a) f\big(\frac{a+b}{2}\big) + \frac{1}{3} \frac{b - a}{2} \big( f(a) + f(b) \big)$
След малко преобразуване…
Формулата
$\displaystyle Q^{\mathrm{s}}(f) = \frac{b-a}{6} \Big( f(a) + 4 f\big(\frac{a+b}{2}\big) + f(b) \Big)$
се нарича квадратурна формула на Симпсон
NB:
По построение $I(f) = Q^{\mathrm{s}}(f)$ за функциите $1,\ x,\ x^2$
Т.е квадратурната формула на Симпсон е с три възела и е точна за всяка функция от $\Pi_2$.
Следователно, $Q^{\mathrm{s}}(f)$ е интерполационна.
$\omega(x) = (x - a)\big(x - \frac{a+b}{2}\big)(x - b)$ - сменя си знака само в $\frac{a+b}{2}$
Освен това,
$\displaystyle \int\limits_a^b \omega(x) dx = 0 \Longrightarrow R(Q^{\mathrm{s}};f) = \frac{f^{4}(\xi)}{4!} \int\limits_a^b (x - a)\Big(x - \frac{a+b}{2}\Big)^2 (x - b) dx$
Т.е
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{s}};f) = - \frac{f^4(\xi)}{2880} (b-a)^5$
Формула на Нютон-Коутс
Бележка:
Квадратурните формули на правоъгълниците, трапеците и Сипсон се наричат елементарни квадратурни формули.
Съставни квадратурни формули
… на правоъгълниците
Нека $m \in \mathbb{N}$. Делим интервала $[a,b]$ с точките $x_k= a + \frac{b - a}{m} k,\ k = 0, 1, \dots, m$
Т.е $x_0 = a$ и $x_m = b$.
Тогава
Формулата
$\displaystyle Q^{\mathrm{pr}}_m (f) = \frac{b-a}{m} \sum_{k=0}^{m-1} f \Big(\frac{x_{k+1} + x_k}{2}\Big)$
се нарича m-та съставна квадратурна формула на правоъгълниците
Остатъкът го пооформяме малко
(9)Окончателно
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{pr}}_m ; f) = \frac{f''(\zeta)}{24m^2}(b-a)^3$
Ако $f''(\zeta) \leq M$ в $[a,b]$, то тогава $\displaystyle |R(Q^{pr}_m; f)| \leq \frac{M (b-a)^3}{24m^2}$, което клони към 0 както $\displaystyle \frac{1}{m^2}$
…на трапеците
Нека $m \in \mathbb{N}$. Разделяме интервала $[a,b]$ с точките $x_k = a + k. \frac{b-a}{m},\ k = 0,1 \dots, m$
Тогава
(10)Формулата
$\displaystyle Q^{\mathrm{tr}}_m (f) = \frac{b-a}{2m} \Big( f(x_0) + f(x_m) + 2 \sum_{k=1}^{m-1} f(x_k) \Big)$
се нарича m-та съставна квадратурна формула на трапеците
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{tr}}_m; f) = - \frac{f''(\zeta)}{12m^2} (b-a)^3$
… на Симпсон
Нека $m \in \mathbb{N}$. Делим интервала $[a,b]$ с точките $x_k = a + \frac{b-a}{2m} . k,\ k = 0, 1, \dots, 2m$ (получават се 2m интервала).
Тогава
(11)И така
Формулата
$\displaystyle Q^{\mathrm{s}}_m (f) = \frac{b-a}{6m} \Big( f(x_0) + f(x_{2m}) + 2 \sum_{k=1}^{m-1} f(x_{2k}) + 4 \sum_{k=0}^{m-1} f(x_{2k+1}) \Big)$
се нарича m-та съставна квадратурна формула на Симпсон
$\displaystyle R(Q^{\mathrm{s}}_m; f) = - \frac{f^{(4)}(\zeta)}{2880 m^4} (b-a)^5$
NB:
Ако $f \in C^4[a,b]$ и $| f^{(4)}(x) | \leq M, \ \forall x \in [a,b]$, то тогава
$\displaystyle | I(f) - Q^{\mathrm{s}}_m (f) | \leq \frac{M(b-a)^5}{2880m^4}$, което клони към 0 както $\frac{1}{m^4}$.