Числено диференциране.

В тази тема се разглежда следната интерполационна

Задача

Нека са дадени точките
$x_0 < x_1 < \dots < x_n$ и съответните функционални стойности $f(x_0) \ f(x_1) \ \dots f(x_n)$.
Търсим приближение за $f'(x)$.

Можем да считаме, че $f'(x) \approx L'_n(f;x)$, където $L_n(f;x)$ е интерполационният полином за $f(x)$ с възли $x_0, x_1, \dots, x_n$.

Използване формулата за представяне на грешката с разделена разлика

(1)
\begin{align} f(x) - L_n(f;x) = f[x_0, x_1, \dots, x_n] \omega(x), \ \ \omega(x) = (x - x_0)(x - x_1) \dots (x - x_n) \end{align}

от където получаваме, че

(2)
\begin{align} f(x) = L_n(f;x) + f[x_0, x_1, \dots, x_n] \omega(x) \end{align}

Сега директно диференцираме и получаваме:

(3)
\begin{align} f'(x) = L'_n(f;x) + \frac{d}{dx} \{f[x_0, x_1, \dots, x_n]\} . \omega(x) + f[x_0, x_1, \dots, x_n].\omega'(x) \end{align}

От дефиницията за първа производна знаем, че

(4)
\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} f[x_0, x_1, \dots, x_n] &=& \lim_{h \to 0} \frac{f[x_0, x_1, \dots, x_n, x + h] - f[x_0, x_1, \dots, x_n, x]}{h} = \\ &=&\lim_{h \to 0} f[x_0, x_1, \dots, x_n, x, x+h] = \\ &=& f[x_0, x_1, \dots, x_n, x, x] \end{eqnarray}

От показаното дотук можем да си направим следния извод:

(5)
\begin{align} f'(x) = L'_n(f;x) + f[x_0, x_1, \dots, x_n, x, x] \omega(x) + f[x_0, x_1, \dots, x_n, x] \omega'(x) \end{align}

Освен това, ако $f \in C^{n+2}[a,b], \ a \leq x_0 < x_1 < \dots < x_n \leq b, \ x \in [a,b]$, то тогава

(6)
\begin{align} f'(x) = L'_n(f;x) + \frac{f^{(n+2)} (\xi)}{(n+2)!} \omega(x) + \frac{f^{(n+1)} (\eta)}{(n+1)!} \omega'(x) \end{align}

Като направим следните означения:
$M_{n+2} = \max_{x \in [a,b]} | f^{(n+2)}(x)|$ и
$M_{n+1} = \max_{x \in [a,b]} | f^{(n+1)}(x) |$
окончателно получаваме

(7)
\begin{align} |f'(x) - L'_n(x)| \leq \frac{M_{n+2}}{(n+2)!} . |\omega(x)| + \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} .|\omega'(x)| \end{align}

Частни случаи

1. Ако $\omega(x) = 0$, то $\displaystyle |f'(x) - L'_n(f;x)| \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|\omega'(x)|$

2. Ако $\omega'(x) = 0$, то $\displaystyle |f'(x) - L'_n(f;x)| \leq \frac{M_{n+2}}{(n+2)!} |\omega(x)|$

Примери

1.
Нека $n = 1, \ x_0 = a, \ x_1 = a+ h, \ x = a$
Тогава
$L_1(f;x) = f[a] + f[a, a + h] (x - a)$
$\displaystyle L'_1(f;x) = f[a,a+h] = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \Longrightarrow f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$\omega(x) = (x-a)(x-a-h), \ x=a \Longrightarrow \omega(x) = 0$
$\displaystyle \Longrightarrow \Big|f'(a) - \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\Big| \leq \frac{M_2}{2} . |\omega'(a)| = \frac{M_2}{2} h$, което клони към 0 както $h \to 0$
Следователно грешката е $O(h)$.

2.
Нека $n = 1, \ x_0 = a - h,\ x_1 = a+h,\ x = a$
Тогава
$L_1(f;x) = f(a-h) + f[a-h, a+h](x - a + h)$
$\displaystyle L'_1(f;x) = f[a-h, a+h] = \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h} \Longrightarrow f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$

$\omega(x) = (x - (a-h))(x - (a+h)) = (x - a)^2 - h^2$
$\omega'(x) = 2(x - a) \Longrightarrow \omega'(a) = 0 \Longrightarrow$ частен случай 2
$\displaystyle \Longrightarrow \Big| f'(a) - \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h} \Big| \leq \frac{M_3}{3!} |\omega(a)| = \frac{M_3}{6} h^2$, което клони към 0 както $h^2 \to 0$
Следователно грешката е $O(h^2)$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License